Sistemas

[Douglaspimentel]

Considere o seguinte sistema de equações no conjunto dos
números reais IR , nas variáveis x, y e z , no qual k é
um parâmetro:
(k-2)x + y + ( k-2)z =4
x+ (k-2)y +z =-7
x+ y + (k-2)z =10

O conjunto que representa os valores de k para os quais o
sistema possua uma única solução é dado por:
A) IR - {1,3} (C) {1,3}
B) IR - {-1,1} (D) {-1,1}

[Elcioschin]

(k-2)*x + y + ( k-2)*z = 4
x + (k-2)*y + z = -7
x + y + (k-2)*z = 10

INvertendo a ordem

x + (k-2)*y + z = -7
x + y + (k-2)*z = 10
(k-2)*x + y + ( k-2)*z = 4

Fazendo por escalonamento:

1 ..... k-2 ...... 1 ........ - 7
1 ...... 1 ...... k-2 ....... 10 ----> II - I
k-2 ... 1 ....... k-2 ....... 4 -----> III - (k-2)*I

1 ..... k-2 ...... 1 ........ - 7
0 ......3-k ..... k-3 ....... 17 ---->
0 .. 1- (k-2)² .. 0 ......... 4 + 7*(k-2)

[1 - (k-2)²]*y = 4 + t*(k-2) ----> (4k - k² - 3)*y = 7*k - 10 -----> y = (7*k - 10)/(4k - k² - 3)

Para existir uma única solução -----> F = -k² + 4k - 3 <> 0 -----> <> significa "diferente de"

Raízes desta função F ----> - k² + 4k - 3 = 0 ----> k = 1 e k = 3

A função F é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, logo para a função não ser negativa 1 < k < 3

Alternativa C