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Exercício do ITA-SP

Exercício do ITA-SP

Mensagempor Victor985 » Dom Nov 03, 2013 18:16

Considere a equação

x \begin{pmatrix} 4 \\ -16 \\ 4 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 5 \\1 \\2 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}
onde x, y e z são números reais. É verdade que:

a) a equação admite uma solução
b) em qualquer solução, x^2 = z^2
c) em qualquer solução, 16x^2 = 9z^2
d) em qualquer solução, 25y^2 = 16z^2
e) em qualquer solução, 9y^2 = 16z^2

Eu já tentei resolvê-lo várias vezes e não consegui.
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Re: Exercício do ITA-SP

Mensagempor e8group » Seg Nov 04, 2013 19:22

Basta obter a solução geral do sistema linear homogêneo e comparar o resultado com as alternativas .

Inicialmente , temos o sistema escrito sob a forma :

xA+ yB + zC = (0,0,0)^t . (A,B,C são as mesmas matrizes colunas dadas )

Esta expressão é equivalente a

M (x,y,z)^t = (0,0,0)^t , onde M é uma matriz 3 \times 3 em que suas colunas 1,2,3 são respectivamente as matrizes colunas A,B,C .

Graças ao wolfram alpha , já verificamos que det(M) = 0 , veja

http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... C3%7D%7D++ .

Isto significa que a matriz M não é invertível o que implica que o sistema é incompatível (não há solução ) ou compatível indeterminado (infinitas soluções ) , mas como todo sistema linear homogêneo possui pelo menos a solução trivial que é o vetor nulo (x,y,z) = (0,0,0),então por M ser singular , concluímos que o sistema em questão é compatível e indeterminado (possui infinitas soluções ) . Aqui já eliminamos o item (a) .


Segundo wolfram alpha ,solução geral do sistema é

y = 16x e z = -12x . Mas faça as contas .
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Re: Exercício do ITA-SP

Mensagempor Victor985 » Ter Nov 05, 2013 18:24

Obrigado pela ajuda.
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.