[Equação do 2º grau] equações fracionárias

por **smlspirit** » Sex Jun 15, 2012 01:42

Não consigo desenvolver o seguinte problema:
Dividindo um número de dois algarismo, cuja soma é 9, pelo quociente da divisão do algarismo das unidades pelo algarismo das dezenas, obtém-se o quociente 18. Qual é esse número?
Gostaria de uma ajuda para compreender o problema e montar a equação.
Obrigado

por **Russman** » Sex Jun 15, 2012 04:33

smlspirit escreveu:Não consigo desenvolver o seguinte problema:
Dividindo um número de dois algarismo, cuja soma é 9, pelo quociente da divisão do algarismo das unidades pelo algarismo das dezenas, obtém-se o quociente 18. Qual é esse número?
Gostaria de uma ajuda para compreender o problema e montar a equação.
Obrigado

Seja esse número

. Como ele tem apenas dois algarismos, sejam eles

e

, podemos escrever que x=10a+b

. Concorda?

Assim, vamos ao enunciado! Ele nos dá duas informações:

$\left\{\begin{matrix} \frac{10a+b}{(\frac{b}{a})}=18 \\ a+b=9 \end{matrix}\right.$

Eu acho interessante fato de que se a soma dos algarismos de um número é 9 então este é múltiplo de 9. Veja que isto nos dá apenas algumas combinações específicas para (a,b). Assim, podíamos fazer tentativas e verificar qual par satisfaz a equação 1. Maaaaaas, vamos recorrer a boa e confiável álgebra.

Da equação 1, podemos desenvolver que

$\frac{10a+b}{(\frac{b}{a})}=18\Rightarrow 10a + b = \frac{18b}{a} \Rightarrow 10a^{2}+ab = 18b\Rightarrow 10a^{2}+b(a-18)=0$ .

Pela equação 2 sabemos que a e b se relacionam seguindo a+b=9

. Portanto, se tomarmos b=9-a

e substituirmos na equação acima teremos uma equação de 2° grau na incógnita a!

$10a^{2}+b(a-18)=0\Rightarrow 10a^{2}+(9-a)(a-18)=0\Rightarrow 10a^{2}-162+27a-a^{2}=0\Rightarrow 9a^{2}+27a-162=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}=3\\ a_{2}=-6 \end{matrix}\right.$

Como

deve ser um algarismo, a única solução válida é a=3