Equação...

por **nathyn** » Seg Jan 30, 2012 15:18

oii, to meia enrolada na resolução dessas equações, nao sei se estou fazendo certo ou se tem alguma maneira mais simples de resolver, se alguem puder ajudar, por favor...

1ª) $\frac{1}{\sqrt[]{x+\sqrt[]{{x}^{2}-1}}} + \frac{1}{\sqrt[]{x-\sqrt[]{{x}^{2}-1}}} = \sqrt[]{2({x}^{2}+1)}$

Eu fiz o mmc e encontrei:

$\frac{\sqrt[]{x-\sqrt[]{{x}^{2}-1}} + \sqrt[]{x+\sqrt[]{{x}^{2}-1}}}{x-\sqrt[]{{x}^{2}-1}} = \frac{x - \sqrt[]{{2x}^{4}-2}}{x-\sqrt[]{{x}^{2}-1}}$

Elevei ambos os lados ao quadrado e ficou...

${x-\sqrt[]{{x}^{2}-1} + 2x-2 \sqrt[]{{x}^{2}-1} + {x+\sqrt[]{{x}^{2}-1} = {x}^{2}+{2x}^{4}-2-2x\sqrt[]{{2x}^{4}-2} \rightarrow$

${2x + 2x-2 \sqrt[]{{x}^{2}-1} = {x}^{2}+{2x}^{4}-2-2x\sqrt[]{{2x}^{4}-2}$

Daí então não sei mais como fazer... =/

2ª) $\frac{x + \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x+\sqrt[]{3}}} + \frac{x - \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x-\sqrt[]{3}}}= \sqrt[]{x}$

Tirando o mmc encontrei:

$\frac{-x\sqrt[]{x-\sqrt[]{3}} -\sqrt[]{3x - \sqrt[]{3}} + x\sqrt[]{x} + x\sqrt[]{x + \sqrt[]{3}} - \sqrt[]{3x + \sqrt[]{3}} = -\sqrt[]{{x}^{3} - 3x}}{x - \sqrt[]{{x}^{2} - 3}}$

nem sei se está certo, mas...

Me ajudem ae por favor...

por **LuizAquino** » Seg Jan 30, 2012 17:16

nathyn escreveu:1ª) $\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}} + \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}} = \sqrt{2({x}^{2}+1)}$

Eu fiz o mmc e encontrei:

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} = \frac{x - \sqrt{{2x}^{4}-2}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$

Você já começou errando o mmc. O correto seria:

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}}= \sqrt{2({x}^{2}+1)}$

Desenvolvendo o denominador, você poderia escrever:

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}}{\sqrt{\left(x+\sqrt{{x}^{2}-1}\right)\left(x-\sqrt{{x}^{2}-1}\right)}}= \sqrt{2({x}^{2}+1)}$

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}}{\sqrt{x^2 - \left(\sqrt{{x}^{2}-1}\right)^2}}= \sqrt{2({x}^{2}+1)}$

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}}{\sqrt{1}}= \sqrt{2({x}^{2}+1)}$

$\sqrt{x-\sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+\sqrt{{x}^{2}-1}}= \sqrt{2({x}^{2}+1)}$

Agora tente terminar.

nathyn escreveu:2ª) $\frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+\sqrt{3}}} + \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x-\sqrt{3}}}= \sqrt{x}$

Tirando o mmc encontrei:

$\frac{-x\sqrt{x-\sqrt{3}} -\sqrt{3x - \sqrt{3}} + x\sqrt{x} + x\sqrt{x + \sqrt{3}} - \sqrt{3x + \sqrt{3}} = -\sqrt{{x}^{3} - 3x}}{x - \sqrt{{x}^{2} - 3}}$

Novamente você já começou errando o mmc. O correto seria:

$\frac{\left(x + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x-\sqrt{3}}\right) + \left(x - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)\left( \sqrt{x} - \sqrt{x-\sqrt{3}}\right)}= \sqrt{x}$

Entretanto, seria mais interessante fazer algumas simplificações ao invés de efetuar a soma das frações no primeiro membro.

Por exemplo, você poderia escrever:

$\frac{\left(x + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)} + \frac{\left(x - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x-\sqrt{3}}\right)}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{x-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x-\sqrt{3}}\right)}$ $= \sqrt{x}$

$\frac{\left(x + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2 - \left(\sqrt{x+\sqrt{3}}\right)^2} + \frac{\left(x - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x-\sqrt{3}}\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2 - \left(\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{x}$

$\frac{\left(x + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{x+\sqrt{3}}\right)}{-\sqrt{3}} + \frac{\left(x - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x-\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}} = \sqrt{x}$

Agora tente terminar.

por **nathyn** » Seg Jan 30, 2012 19:15

Aaah brigadão, a primeira eu entendi e consegui encontrar a resposta muito obrigada mesmo. Já a segunda eu não entendi o que foi feito, vc multiplicou em cima e em baica em cada fraçao pela mesma coisa? Pq foi feito isso e quando eu posso usar esse tipo de simplificação?
Desculpa, é que não tenho uma boa base...
d qualquer forma, muito obrigada.

por **LuizAquino** » Seg Jan 30, 2012 23:48

nathyn escreveu:Já a segunda eu não entendi o que foi feito, vc multiplicou em cima e em baica em cada fraçao pela mesma coisa?

Sim, eu multipliquei o numerador e o denominador por uma mesma expressão.

nathyn escreveu:Pq foi feito isso e quando eu posso usar esse tipo de simplificação?

Isso foi feito para simplificar a raiz que havia no denominador.

A ideia é parecida com a que usamos quando queremos racionalizar denominadores.

nathyn escreveu:Desculpa, é que não tenho uma boa base...

Eu recomendo que você assista as vídeo-aulas do Nerckie. Elas estão disponíveis no canal dele no YouTube:

http://www.youtube.com/nerckie

por **nathyn** » Ter Jan 31, 2012 10:42

aah ta, entendi... pq se multiplicar em cima e em baixo pela mesma coisa não altera a fração...
Brigadão e vou dah uma assistida sim.
Muito obrigada. Fica com Deus ;D

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