Matriz

por **Claudin** » Qui Fev 16, 2012 19:12

Classifique entre Verdadeira e Falsa. (Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo)
(c) Se ${A}^{t}={A}^{-1}$ então det(A) = 1

Resolução:

Verdadeiro

No caso, o único exemplo seria a matriz Identidade

por **MarceloFantini** » Qui Fev 16, 2012 21:10

Falso, podemos ter $\det A = -1$ . Note que $\det A \cdot \det A^t = \det A \cdot \det A = (\det A)^2 = 1$ , daí $\det A = 1$ ou $\det A = -1$ . A matriz identidade não é o único exemplo, considere

$A = \begin{bmatrix} \cos x & - \textrm{sen} \, x \\ \textrm{sen} \, x & \cos x \end{bmatrix}$ .

Então $A^t = \begin{bmatrix} \cos x & \textrm{sen} \, x \\ - \textrm{sen} \, x & \cos x \end{bmatrix}$ e daí

$A^t \cdot A = \begin{bmatrix} \cos x & \textrm{sen} \, x \\ - \textrm{sen} \, x & \cos x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos x & - \textrm{sen} \, x \\ \textrm{sen} \, x & \cos x \end{bmatrix} = I_{2 \times 2} = A \cdot A^t$ .

Note que A não é a identidade. Estas matrizes são especiais: é o grupo das matrizes ortogonais, ou seja, tal que $A^t \cdot A = A \cdot A^t = I$ e como consequência $|\det A| = 1$ .