Alg.Lin2-Autovetores,autovalores,transformacoes lineares.

por **ilovecer** » Seg Dez 05, 2011 17:39

Opa!
Estou tendo encrencas com um tipo de exercicio aqui.

Seja T uma transformacao linear (R2 -> R2) tal que T reflete o R2,ortogonalmente, em relação a uma reta R.Sabendo que v1=(1,-3) é um autovetor de T com autovalor 1, ache T(x,y).

Bom o que eu tentei fazer o é o seguinte.Eu sei que todos os vetores da forma k(v1)=k(1,-3) permancem inalterados nesta transformação linear, ou seja , são os vetores sob a reta y=-(1/3)x.(Com isso conseguimos achar os autovalores correspodem ao autovalor 1)
Eu sei ainda que a reta perpendicular a y=-(1/3)x na origem tem seus vetores levados a 0 , ou seja , T(v2)=0 , onde v2 está contido na reta y=3x.(com isso descobrimos um autovalor 0 , com autovetores pertencendo a reta y=3x)
O meu problema é pra resolver , não tenho gabarito e não tenho a menor confiança no resultado que achei.
Grato por qualquer ajuda.
Ps:Perdão por não usar o latex , mas creio que esteja bem legível.

por **LuizAquino** » Seg Dez 05, 2011 21:59

ilovecer escreveu:Seja T uma transformacao linear (R2 -> R2) tal que T reflete o R2, ortogonalmente, em relação a uma reta R. Sabendo que v1=(1,-3) é um autovetor de T com autovalor 1, ache T(x,y).

Como T é uma transformação linear e uma reflexão em relação a uma reta r, então r deve passar na origem.

Note que se (a, b) é o vetor diretor da reta r, então temos que T(a, b) = (a, b), já que T é uma reflexão em relação a r. Note que das informações do exercício, temos que (a, b) = (1, -3).

Por outro lado, se (c, d) é o vetor diretor da reta que passa pela origem e é perpendicular a r, então temos que T(c, d) = -(c, d), novamente pelo fato de T ser uma reflexão em relação a r. Desse modo, temos que (c, d) é um autovetor de T associado ao autovalor -1.

Agora, pense no seguinte: se (1, -3) é o vetor diretor da reta r, então qual deve ser o vetor (c, d)?

Após responder essa pergunta, você pode determinar a matriz M de T lembrando que:

$M = \begin{bmatrix}1 & c \\ -3 & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & c \\ -3 & d\end{bmatrix}^{-1}$

por **ilovecer** » Seg Dez 05, 2011 22:46

Caro Luiz,
Já sei onde errei.Eu li PROJEÇÃO ao invez de REFLEXÃO.Então eu estava levando o vetor diretor (c,d) da reta perpendicular à r para a origem (0,0) !!!
Me custou 2,5 pontos na prova essa desatenção...
Agradeço muito a sua ajuda mestre!