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[Determinantes] propriedades do determinante

[Determinantes] propriedades do determinante

Mensagempor vanessafey » Qua Set 07, 2011 21:49

Preciso verificar geometricamente e ilustrar graficamente com exemplos as seguintes propriedades do determinante para matrizes 2X2 e 3X3:


(i) Se B é uma matriz obtida a partir de A multiplicando uma linha de A por um escalar ?>0; então |det(B)| = \alpha|det(A)|

Segue o raciocínio...

Para matrizes R^2xR^2

A=
\begin{pmatrix}
   1 & 2  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}

e B=
\begin{pmatrix}
   2 & 4  \\ 
   2 & 3 
\end{pmatrix}
[/tex]

Note que a primeira linha de B é o dobro da primeira linha de A.

|det(B)|=|6-8|=2
|det(A)|=|3-4|=1

Assim, |det(B)|=2|det(A)|

Geometricamente, significa que a área do paralelogramo formada pelos vetores

u=\begin{pmatrix}
   1   \\ 
   2  
\end{pmatrix}

e

v=
\begin{pmatrix}
   2   \\ 
   3  
\end{pmatrix}

dobrou, pois o vetor u dobrou o comprimento. Ou seja, se uma linha (ou coluna) de uma matriz foi multiplicada por uma constante positiva ?, seu determinante também fica multiplicado por essa constante.

O significado geométrico para matrizes 2X2, é que a área do paralelogramo formada por seus vetores coluna (ou linha) fica multiplicado por essa constante ?.

SERIA ISSO???
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Re: [Determinantes] propriedades do determinante

Mensagempor LuizAquino » Sáb Set 10, 2011 12:51

vanessafey escreveu:O significado geométrico para matrizes 2X2, é que a área do paralelogramo formada por seus vetores coluna (ou linha) fica multiplicado por essa constante ?.

Sim.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.