A ver se me conseguem Ajudar!

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A ver se me conseguem Ajudar!

Mensagempor Optikool » Seg Dez 03, 2012 15:02

Por favor , a ver se me podem ajudar!

Duas matrizes A e B pertencentes a M n\times n\:\mathbb{R} dizem-se semelhantes se existe uma matriz invertível P \in \: M n \times n \: \mathbb {R} tal que B = \: P^-1\: AP.

Se A e B são matrizes semelhantes, então:

a) A^2 = B^2

b)det (A^2) = det (B^2)

c)A-B = In

d)det A = - det B


Alguma ideia?
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Re: A ver se me conseguem Ajudar!

Mensagempor young_jedi » Seg Dez 03, 2012 16:18

se

B=P^{-1}.A.P

então

P.B=P.P^{-1}.A.P

P vezes a sua inversa é igual a matriz identidade

P.B=I.A.P

e a matriz indentidade vezes outra matriz é igual a propia matriz

P.B=A.P

aplicando o determinante

det(P.B)=det(A.P)

det(P).det(B)=det(A).det(P)

portanto

det(B)=det(A)

então

det(B).det(B)=det(A).det(A)

portanto


det(B^2)=det(A^2)
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Re: A ver se me conseguem Ajudar!

Mensagempor Optikool » Seg Dez 03, 2012 16:26

Mais uma vez Obrigado!!
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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