Progressões Geométricas

por **Anderson Alves** » Ter Abr 24, 2012 23:08

Olá Pessoal.

Tenho dúvidas nesse exercício.
1) Numa progressão geométrica de cinco termos a soma dos dois primeiros é 35 e a soma dos dois últimos é 2240.
Calcule o terceiro termo!

Resp.: 112

Grato pela ajuda.

por **Cleyson007** » Qua Abr 25, 2012 11:42

Bom dia Anderson!

Numa P.G., temos:

Termo Geral: ${a}_{n}={a}_{1}.{q}^{n-1}$
Soma dos termosda P.G.: ${S}_{n}=\frac{{a}_{1}({q}^{n}-1)}{q-1}$

$2240={a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{4}$
$2240={a}_{1}{q}^{3}(1+q)$

$35={a}_{1}+{a}_{1}q\Leftrightarrow35={a}_{1}(1+q)$

$\frac{2240}{35}={q}^{3}\Rightarrow q=4$

Muito bem, encontramos o valor da razão! Agora fica mais fácil..

$35={a}_{1}+{a}_{1}q$

${a}_{1}=7$

${a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}$

${a}_{3}=112$

Comente qualquer dúvida :y:

por **Russman** » Qua Abr 25, 2012 20:00

Eu tenho uma resolução diferente.

Se a P.G. tem apenas 5 termos então façamos que o terceiro termo seja simplismente

. Assim, a P.G. é, de razão

,

$P = \left \{ \frac{x}{q^{2}},\frac{x}{q},x,xq,x{q}^{2} \right \}$ .

O problema diz que

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{q^{2} }+ \frac{x}{q} = 35\\ xq + xq^{2} = 2240 \end{matrix}\right.$

Da primeira linha obtemos $x\left( \frac{q + {q}^{2}}{{q}^{3}} \right) = 35$ e da segunda $x(q + {q}^{2}) = 2240$ . Assim,

$\frac{x}{{q}^{3}}.\frac{2240}{x} = 35 \Rightarrow q = 4$ .

Portanto,

$x = \frac{2240}{q + {q}^{2}} = \frac{2240}{4+16} = 112$ ,

que é naturalmente o 3° termo. (:

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