PA (não sei resolver)

[Bruninha]

Tem essa questão no meu exercício, e eu não consigo resolver...
ME AJUDEM, POR FAVOR!!!

- Se a média aritimética dos 31 termos de uma progressão aritimética é 78, então o décimo sexto termo dessa progressão é:
(a) 54
(b) 66
(c) 78
(d) 82
(e) 96

Obrigada desde já! Beijos da Bruna!!

[Neperiano]

Ola

Acredito que seja a resposta letra C.

Vejamos porque:

Se a média Aritimética é 78, isso quer dizer que a média dos termos 1 ao 31 é 78, mas se voçe reparar, se somar o 1 termo com o ultimo vai dar essa média, porque isso, quando voçe esta numa Progressão Aritimética sempre aumenta com a razão,

Por exemplo:

Se o 1 termo é 2 e a razão 4:

1 Termo = 2
2 Termo = 4
3 Termo = 6
...

24 Termo = 48
25 Termo = 50

Até o infinito.

Agora some o 1 com o 25 termo. Dá 52 e Some o 2 com o 24 Termo Da 52 Tambem.

Com isso podemos concluir que o 1 termo mais o 31 termo da 78, seria o mesmo se fosse o 2 mais o 30.

Agora vamos ver o 16 termo.

Quano voçe chega nele aumentando e diminuindo vai chegar assim


14 - 18 Termo
15 - 17 Termo
16 - 16 Termo

Isso quer dizer que o 16 Termo é 78.

Desculpe se não ficou claro, mas é mais ou menos assim

Abraços

[ivolatanza]

Soma dos 31 termos/31 = 78

S = (a1 + an)*31/2 = 31*78

Cancelando o "31" de ambos os termos, fica:

a1 + an = 78*2 = 156

Em toda PA,
a soma do primeiro com o último termo =
a soma do segundo com o penúltimo termo =
a soma do terceiro com o antepenúltimo termo =
...........................................................
duas vezes o termo médio (se "n" for ímpar).

Ou seja, em nosso caso:

a1+a31 = a2+a30 = a3+a29 + ... + a15+a17 = a16+a16 = a17+a15 = ... = a31+a1

Note que a soma dos índices de "a" somam sempre 32.
Como o número de termos é impar (31), o termo central da PA não tem com quem formar "par", e acaba formando "par" consigo mesmo: daí que a1+an = 2 x a16.

Concluindo:

a1+an = 156 = 2 x a16

a16 = 156/2 = 78

Tudo isso para "provar" que o termo central de uma PA (cujo número de termos é ímpar) é igual à média aritmética dos termos...



Um feliz final de semana para você!