(ITA) Questão de PG

por **Carolziiinhaaah** » Qua Jun 16, 2010 18:31

Determine o conjunto de todos os valores reais

tal que

, para os quais a1, a2, a3 formam, nessa ordem, uma PG de razão

e representam as medidas dos lados de um triângulo.

gabarito: $q \in1 \;\;] 1 \frac{\sqrt[]{5}+1}{2}[$

por **Douglasm** » Qua Jun 16, 2010 20:56

Boa noite. Para resolver essa questão vamos fazer uso de uma desigualdade presente em qualquer triângulo: o lado maior sempre será menor que a soma dos outros dois.

Vamos chamar os lados de $a_1 \; , \; a_1.q \; e \; a_1.q^2$ (em ordem crescente, notando que os lados formam uma P.G.).

Agora é só aplicar a desigualdade:

$a_1.q^2 \; < \; a_1 + a_1.q \; \therefore$

$a_1q^2 \; < \; a_1(1+q) \; \therefore$

$q^2 - q - 1 \; < \; 0$

Essa inequação nos dá como resultado o intervalo $\left]\frac{1-\sqrt{5}}{2} \; , \; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[$ .

Mas como sabemos que q > 1, ficamos com:

$q \; \in \; \left]1 \; , \; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[$

E está ai a resposta. Até a próxima.

por **Carolziiinhaaah** » Qua Jun 16, 2010 21:00

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Valeu Douglas!

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