progressões

por **solon** » Ter Jul 14, 2015 03:00

olá, este é o meu primeiro contato com a equipe ajuda Matemática, queria desde já agradecer por esta oportunidade grandiosa de poder interagir com uma comunidade matemática, para que possa haver uma troca mútua de informações, que de certa forma estaremos contribuindo com a difusão do conhecimento. Tenho uma dúvida com relação a como encontrar a razão de uma progressão geométrica da seguinte forma: para 0<a<1, a soma algébrica a-a/2+a^2-a/2^2+a^3-a/2^3+...a^n-a/2^n+...vale:, a reposta correta é a seguinte: a^2/1-a . Já utilizei algumas das propriedades das progressões mas não consegui encontrar o resultado, acredito ter que primeiramente encontrar a razão. Preciso que me mostre um método de resolução para o tal enunciado. Agradeço pela compreensão.

por **nakagumahissao** » Ter Jul 14, 2015 10:40

$a-\frac{a}{2}+a^2-\frac{a}{2^2}+a^3-\frac{a}{2^3}+...a^n-\frac{a}{2^n}+...$

Nesta sequência, podemos observar duas sequências em Progressão Geométrica:

[1] a+a^2+a^3+...a^n+...

e

[2] $-\frac{a}{2}-\frac{a}{2^2}-\frac{a}{2^3}-...-\frac{a}{2^n}-...$

A fórmula da soma de uma PG infinita é:

[3] $S{}_{n}= \frac{a1}{1-q}$

Sendo "n" um número que identifique a soma infinita da sequência 1 ou da Sequência 2.

De [1] e [2], tem-se que:

$q{}_{1} = a$

(Obtem-se este valor acima para a razão, dividindo-se a^2 por a, a^3 por a^2, a^4 por a^3 ou quaisquer valores subsequentes pelo seu anterior)

Desta mesma forma:

$q{}_{2} = \frac{1}{2}$

Usando as razões obtidas em [3] e somando-se as duas somas teremos:

$Total = S{}_{1} + S{}_{2} = \frac{a}{1-a} + \frac{-\frac{a}{2}}{1 - \frac{1}{2}} =$

$= \frac{a}{1-a} + \frac{-\frac{a}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{1-a} - a = \frac{a - a(1-a)}{1-a} =$

$= \frac{a - a + a^2}{1-a}$

$Total = \frac{ a^2}{1-a}$

$\blacksquare$

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