[Soma n termos ] mostre que ....

por **e8group** » Qui Nov 08, 2012 19:08

Alguém sabe onde encontro a demonstração abaixo , não quero apenas indução fraca ou forte . Quero desenvolver o lado esquerdo e chegar no lado direito da seguinte expressão .

$\sum_{j} = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{ n (n+1) }{2}$ .

Em seguida , vou deixar minha solução e gostaria de saber como vc's desenvolveriam .

Solução :

$\sum_{j= 1}^n j = \sum_{j=1} ^n (n -(n-j)) = n^2 - \sum_{j=1}^n (n-j)$ .

Mas , $\sum_{j=1}^n j = \sum_{j=0}^n (n-j) = n + \sum_{j=1}^n (n-j)$ ou seja $\sum_{j=1}^n (n-j) = \left(\sum_{j=1}^n j \right ) -n$ .

Daí ,

$\sum_{j=1}^{n} j = \sum_{j=1}^n (n - (n-j)) = n^2 - \sum_{j=1}^n(n-j) = n^2 - \left(\left(\sum_{j=1}^n j \right ) -n \right ) = n^2 +n - \sum_{j=1}^n j$ .

Somando $\sum_{j=1}^n j$ em ambos lados da igualdade vamos obter que ,

$\sum_{j=1}^n j+ \sum_{j=1}^n j = \sum_{j=1}^n (j+j) = \sum_{j=1}^n (2j) = 2 \sum_{j=1}^n j = n^2 +n - \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n j = n^2 +n + \sum_{j=1}^n( j -j) = n^2 + n$

e finalmente , multiplicando toda igualdade por 1/2

,

$2^{-1} \left(2 \sum_{j=1}^n j \right ) = 2^{-1} (n^2 +n)$

teremos que ,

$\sum_{j=1}^n j = \frac{ n^2 + n }{2} = \frac{ n (n+1) }{2}$ .

Agora que cheguei no lado direito através do esquerdo , posso provar por indução que vale para n + 1 ou melhor ainda mostro que vale para n-1 e para n+1 .

OBS.: Alguém de vc's conhecem algum livro que posso deparar com exercícios como este acima e também sobre indução matemática .

por **MarceloFantini** » Qui Nov 08, 2012 19:17

Seja $S_n = 1 + 2 + \cdots + n = n + n-1 + \cdots + 1$ . Somando ambas, temos $2 S_n = (n+1) + (n-1+2) + \cdots + (1 + n)$ . Ao fazer isto efetuamos

somas, daí

$2 S_n = \underbrace{ (n+1) + (n-1+2) + \cdots + (1+n)}_{\text{n vezes}} = n(n+1)$

e portanto $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

É a demonstração mais interessante que eu conheço. Nem tudo é possível desenvolver de um lado e chegar no outro.

por **e8group** » Qui Nov 08, 2012 19:31

OK ! Na verdade esta eu fiz aqui também, realmente é muito boa , foi a primeira que fiz da mesma forma q vc . Mas ,como gostaria de fazer de uma outra forma que leve ao mesmo caminho optei por esta acima também . Na sua opinião , minha demostração também é aceita da mesma forma que a sua ?

Obrigado pela atenção .

por **e8group** » Qui Nov 08, 2012 20:32

Marcelo , esta demonstração abaixo é a outra que eu fiz também , como relatei antes . Note que é a mesma coisa que vc fez , só utilizei somatório por ser compacto .

$\sum k = n+ \sum(n- k) \implies \sum k + \sum k = \sum(k +k) = 2 \sum k = n + \sum(n-k) + \sum k = n + \sum(n- k + k) = n + \sum n = n + n^2 = n(n+1)$

Portanto , $\sum k = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{(n+1)n}{2}$

OBS.: $\sum k = \sum_{k= 1} ^n k$