Progressão Geométrica

por **Rafael16** » Seg Jul 16, 2012 21:49

Olá pessoal,

Determine três números em P.G., de tal forma que a soma do segundo com o terceiro seja 60 e a diferença entre o segundo e o primeiro seja 10.

Resolução:

Dados do exercício:
${a}_{2}+{a}_{3}=60 \Rightarrow {a}_{1}.q+{a}_{1}.{q}^{2}=60$
${a}_{2}-{a}_{1}=10\Rightarrow {a}_{1}.q-{a}_{1}=10$

Colocando essas equações acima em um sistema, achei:
${a}_{3}+{a}_{1}=50\Rightarrow{a}_{1}.{q}^{2}+{a}_{1}=50$

Tentei fazer isso de tudo quanto é jeito, jogando na fórmula do soma

${S}_{n}=\frac{{a}_{1}({q}^{n}-1)}{q-1}$

e também na propriedade
${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}.{a}_{3}$

Resposta: (5,15,45)ou(10,20,40)

P.G. é bem mais difícil que P.A. :oops:

Valeu gente!

por **Arkanus Darondra** » Seg Jul 16, 2012 21:58

Você montou o sistema corretamente, basta continuar colocando a1 em evidência.
Resultará numa equação polinomial do segundo grau com as raízes 2 e 3 (razão).

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 22:05

Realmente, seu sistema esta montado de forma correta! Este não é linear. Então eu, pessoalmente, sugiro que você isole o valor $a_{1}$ em ambas equações e os iguale pois , de fato, sao iguais. Com isso, você obterá uma equação onde a incógnita é somente o valor da razão da P.G..

por **Rafael16** » Seg Jul 16, 2012 22:11

Arkanus Darondra escreveu:Você montou o sistema corretamente, basta continuar colocando a1 em evidência.
Resultará numa equação polinomial do segundo grau com as raízes 2 e 3 (razão).

Valeu Arkanus Darondra,

Só que eu cheguei nessa equação
$-{q}^{2}+q+6=0$
dando como resposta
x' = -2 e x''=3

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 22:17

A equação que você deve obter é

$q^{2} - 5q + 6 = 0$ ,

cujas soluções são as que o amigo acima te disse.

por **Arkanus Darondra** » Seg Jul 16, 2012 22:19

Provavelmente houve erro durante os cálculos:

$a_1(q + q^2) = 60 \Rightarrow a_1 = \frac{60}{q + q^2}$

$a1(q - 1) = 10 \Rightarrow a_1 = \frac{10}{q-1}$

Assim:

$\frac{60}{q + q^2}=\frac{10}{q-1}$

q^2 - 5q + 6 = 0