[Trignometria] Fórmula Fundamental da Trignometria

por **rola09** » Dom Mar 18, 2012 15:12

Resolvi este exercício e queria perguntar e partilhar se estou errado em alguma parte das questões.

Considere a seguinte expressão:

$B\left(\alpha \right)=-sen\left(5\pi-\alpha \right)+tg\alpha-2cos\left(\frac{5}{2}\pi-\alpha \right)+\frac{cos\left(\frac{5}{2}\pi-\alpha \right)}{sen\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)}$

1 - Mostre que $B\left(\alpha \right)=-3sen\left(\alpha \right)$ .

$B\left(\alpha \right)=-sen\left(5\pi-\alpha \right)+tg\left(\alpha \right)-2cos\left(\frac{5}{2}\pi-\alpha \right)+\frac{cos\left(\frac{5}{2}\pi-\alpha \right)}{sen\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)}\Leftrightarrow B\left(\alpha \right)=-sen\left(\pi-\alpha \right)+tg\left(\alpha \right)-2cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)+\frac{cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)}{sen\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)}\Leftrightarrow B\left(\alpha \right)=-sen\left(\alpha \right)+tg\left(\alpha \right)-2sen\left(\alpha \right)-\frac{sen\alpha}{cos\alpha}\Leftrightarrow B\left(\alpha \right)=-sen\left(\alpha \right)+tg\left(\alpha \right)-2sen\left(\alpha \right)-tg\left(\alpha \right)\Leftrightarrow B\left(\alpha \right)=-3sen\left(\alpha \right)$

2 - Sabendo que $tg\left(\alpha \right)=-2$ e $\alpha \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right[$ calcule o valor exato da expressão $B\left(\alpha \right)$ .

Aplicando a fórmula ${tg}^{2}\alpha+1=\frac{1}{{cos}^{2}\alpha}$

${\left(-2 \right)}^{2}+1=\frac{1}{{cos}^{2}\alpha}\Leftrightarrow cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$ . Como $\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right[$ sabemos que $cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ . Então, como $tg\alpha=\frac{sen\alpha}{cos\alpha}$ concluímos que

$-2=\frac{sen\alpha}{\frac{\sqrt{5}}{5}}\Leftrightarrow sen\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Neste caso $B\left(\alpha \right)=-3*\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)\Leftrightarrow B\left(\alpha \right)=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

3 - Resolva em , a condição $B\left(\alpha \right)=3cos\left(-\alpha \right)$ .

$B\left(\alpha \right)=3cos\left(-\alpha \right)\Leftrightarrow -3sen\alpha=3cos\alpha\Leftrightarrow sen\alpha=-cos\alpha\Leftrightarrow \alpha= -\frac{\pi}{4}+\kappa\pi$ $\kappa \in Z$

[Trignometria] Fórmula Fundamental da Trignometria

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