[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

por **brunadultra** » Qua Jan 23, 2013 15:51

Questão 15 (UNEB 2013): A figura mostra um instrumento utilizado para medir o
diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um
bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em
forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado
na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros,
é o número que, na escala, corresponde ao ponto de
tangência entre o cilindro e o segmento AB.
Nessas condições, ao construir a escala de um
instrumento desses, o número 2 corresponde a um
certo ponto do segmento AB.
Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é:

Resposta: RAÍZ DE 1+cos(teta)/1-cos(teta)

por **e8group** » Qui Jan 24, 2013 10:31

Bom dia .Veja a figura em anexo

Façamos ,

( o que queremos )

Pelo enunciado , obtemos que o raio da circunferência tem medida 1 u.c (Se permancer dúvidas leia novamente o texto ).

No triângulo retângulo , AEC temos que : $|EC| = tan(\theta)$ (note que $\theta$ é agudo por isso desprezamos o módulo )

Ora ,se $|BC| = (|BE| = d ) + (|EC| = tan(\theta) = x$ então : $d = x - tan\theta$ (1) .

Por outro lado ,

no triângulo BED , obtemos que $cos(\theta) = d/x \implies x = cos(\theta) d$ (2)

Comparando as expressões (1) e (2) ,segue que : $d = \frac{sin(\theta)}{1-cos(\theta) }$ que em consequência da relação trigonométrica fundamental sin^2 x + cos^2 x = 1

obtemos , $d = \frac{\sqrt{1-cos^2(\theta)}}{1-cos(\theta)}$ que devido a propriedade a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

e por multiplicarmos tanto o numerador quanto denominador por $\sqrt{1-cos(\theta)}$ ,finalmente obtemos :

d= \frac{ \sqrt{ 1 + cos(\theta)} }{ \sqrt{ 1 - cos(\theta)}

OBS.: Aconselho que refaça todas as contas , pois foi omitido algumas contas .

por **brunadultra** » Qui Jan 24, 2013 13:47

Olá santhiago,

eu consegui chegar até a parte em que ${d}^{2}=\frac{{sen}^{2}\theta}{{(1-cos\theta})^{2}}$ . A partir daí eu encontro um resultado que não bate com a resposta: ${}\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}$ (dentro da raíz)

Você poderia me ajudar?

por **e8group** » Qui Jan 24, 2013 21:02

Boa noite . Começando de onde você chegou(que estar correto) , podemos comparar o numerador $sin^2(\theta)$ com a indentidade trigonométrica fundamental $sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$ de onde vamos obter $sin^2(\theta) = 1 - cos^2(\theta)$ . Ou seja , $d^2 = \frac{sin^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2} = \frac{1 - cos^2(\theta))}{(1-cos(\theta))^2}$ .Extraindo a raiz quadrada de ambos membros , $\sqrt{d^2} = \sqrt{\frac{1 - cos^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2}} = \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{\sqrt{(1 - cos(\theta))^2}} = \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{1 - cos(\theta)} = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)}$ . E por fim , multiplicando-se

por $\frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}}$ (note que não estamos alterando o resultado ,estamos multiplicando por 1 que é o elemento neutro do produto ) ,

$d = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} \cdot \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}}$

$d= \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}$

$d= \frac{\sqrt{[1-cos(\theta)]^2} \sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}$

$d= \frac{[1-cos(\theta)]\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}$

Após cancelarmos o termo $1-cos(\theta)$ " encima e embaixo "

$d= \frac{\sqrt{1+cos(\theta)}}{\sqrt{1-cos(\theta)}} = \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{1-cos(\theta)}}$

Qualquer dúvida só postar .

por **e8group** » Sex Jan 25, 2013 08:17

Ou melhor ...

$d^2 = \frac{sin^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}=\frac{1-cos^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}= \frac{(1-cos\theta)(1+cos\theta)}{(1-cos\theta)(1-cos\theta)} = \frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}$

$\therefore d = \sqrt{\frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}}$ .

por **zenildo** » Qua Dez 13, 2017 17:28

Eu não entendi o porquê de colocar BC, já que tinha B naquele ponto.Tambem não entendi o porquê de BC = BD e escrever que é igual a x. Por favor, me explique.