Inequação trigonométrica

por **crsjcarlos** » Qua Dez 05, 2012 17:36

Boa tarde, gostaria de uma ajuda para saber qual foi o meu erro:

Resolva a inequação:

senx + cosx $\geq$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Primeiro eu simplifiquei senx + cosx:

$(senx + cosx)^{2} -2senx.cosx = 1 \to \ (senx + cosx)^{2} = 1 + sen2x \Rightarrow senx + cosx = \pm \sqrt{1 + sen2x}$

Agora resolvi a inequação:

$\pm \sqrt{1 + sen2x} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 1 + sen2x \geq \frac{1}{2}\Rightarrow sen2x \geq -\frac{1}{2}$

por **e8group** » Qua Dez 05, 2012 21:36

Como , $\sqrt{2}/2 > 0$ claramente sin(x) + cos(x) > 0

. Sendo assim , se elevarmos ambos membros ao quadrado não vamos alterar a desigualdade .(Reflita ! )

Então ,
$sin(x) + cos(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \implies (sin(x) + cos(x))^2 = sin^2(x)+ cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 1 + sin(2x)\geq \frac{1}{2}$ .

Somando

em ambos lados ,

$sin(2x) \geq - \frac{1}{2}$ . Você chegou aqui ,(OK !) .

Agora note que ,

$sin(30^{\circ}) = 1/2$ . Daí $- 1/2 = - sin(30^{\circ}) = sin( -30^{\circ}) = sin(330^{\circ})$ .

Portanto temos que , $sin(2x) \geq - \frac{1}{2}$ quando $2x \geq - 30^{\circ}$ . Ou , $2x \geq - \pi/6 \implies x \geq -\pi /12 \text{rad}$ .

Conjunto solução : $S = \left \{ x \in \mathbb{R} \ | x \geq 2 k\pi - \frac{\pi}{12}\right \} ,k \in \mathbb{Z}$ .
Pois a função seno é periódica.

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