FUVEST 93 - LOGARITMOS

[Andromeda]

Olá! Gostaria de ajuda para resolver uma questão da fuvest:

Considere as equações:

I. log(x + y) = log x + log y

II. x + y = xy

a) As equações I e II têm as mesmas soluções? Justifique.

b) Esboce o gráfico da curva formada pelas soluções de I.

Eu até comecei o problema, tentando aplicar propriedades conhecidas de logaritmos, mas só cheguei nisso:
log (x+y) = log (xy)
log (x+y) - log (xy) = 0
log (x+y/xy) = 0
10^0 = x+y/xy
1 = x+y/xy
xy= x+y

...tcharãn...n cheguei a lugar algum...Podem me ajudar?
ps caso a resolução seja muito simples: eu mando mal em matemática mesmo rs

[Neperiano]

Ola

Eu chutaria valores para x e y e verificaria se são iguais.

Atenciosamente

[LuizAquino]

Considere as equações:

I. log(x + y) = log x + log y

II. x + y = xy

a) As equações I e II têm as mesmas soluções? Justifique.

Não necessariamente.

Caso x > 0 e y > 0 forem soluções da equação x + y = xy, então podemos aplicar o logaritmo em ambos os membros dessa equação, obtendo log(x + y) = log(xy) = log x + log y. Portanto, x e y também são soluções dessa última equação.

Por outro lado, caso x < 0 e y > 0 (ou ainda x > 0 e y < 0) forem soluções da equação x + y = xy, então não podemos aplicar o logaritmo em ambos os membros da equação, pois apareceria o logaritmo de um número negativo.

b) Esboce o gráfico da curva formada pelas soluções de I.

Você começou a solução, porém não soube terminar.

Utilizando as propriedades de logaritmos, desenvolvemos a equação I até obter xy = x + y.

Isolando y nessa equação, ficamos com .

Note que para x e y serem positivos, basta escolher qualquer número x tal que x > 1. Portanto, o gráfico da função y = f(x) começa a partir de x > 1. Além disso, perceba duas coisas:
(i) se escolhemos x próximo de 1 (por exemplo, 1,1, 1,01, 1,001, 1,0001, etc) o valor de y é bem grande.
(ii) o valor de y é sempre maior do que 1, pois para calcular y nós estamos dividindo o número x pelo número x - 1, com isso temos uma fração cujo o numerador é sempre maior do que o denominador.

Agora, considerando essas informações e escolhendo alguns valores para x (por exemplo, 1,1, 1,2, 2, 3 e 4) você traçaria o esboço do gráfico abaixo.

gráfico.png (7.69 KiB) Exibido 2379 vezes

Vale lembrar que as linhas pontilhadas em vermelho são apenas para você se guiar.

[Andromeda]

Nossa, tem razão! Poxa, que pena que eu não percebi que a última equação a que cheguei poderia me dar o gráfico...Tenho muito que melhorar em matemática ainda... Muito obrigado a todos que responderam, viu?