[equação exponencial] aplicação de logaritmos

por **Zeh Edu** » Sex Nov 09, 2012 05:49

Bom dia!
O valor da soma das raízes da equação $2^{2x-2} - 17*2^{x-3} + 1 = 0$ é:
a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2

Segui o seguinte raciocínio, mas não consegui chegar em nada:

$2^{2x-2} = 17*2^{x-3} -1$ $\Rightarrow$ $log_{2}(17*2^{x-3}-1) = 2x-2$

e

$2^{x-3} = \frac{2^{2x-2}+1}{17}$ $\Rightarrow$ $log_{2}(\frac{2^{2x-2}+1}{17}) = x-3$

Substituir os valores acima pra 2x-2 e x-3 na equação original leva a uma equação ainda mais complicada.
Isolar os x nas duas equações acima e igualar as equações encontradas leva a: $(\frac{2^{2x-2}+1}{17})^2 * 2^4 = 17*2^{x-3}-1$

Pela falta de alternativas creio que ou meu raciocínio original não seja útil ou os passos após eles estão incorretos.
Muito grato a quem puder ajudar.

por **MarceloFantini** » Sex Nov 09, 2012 06:47

Multiplique tudo por 2^3

, então a equação torna-se $2^{2x+1} -17 \cdot 2^x +8=0$ . Faça agora a substituição t = 2^x

, de onde segue $2^{2x+1} - 17 \cdot 2^x + 8 = 2t^2 -17t +8=0$ . Resolva e volta para variável original, lembrando que deve-se obedecer à restrição t >0

.

por **Zeh Edu** » Sex Nov 09, 2012 08:54

Marcelo Fantini, muito obrigado pela ajuda!!
Resolvendo a equação $2t^{2}-17t+8=0$ chega se em t=1/2 e t=8
Substituindo esses valores em $t=2^{x}$ encontra se que x=-1 ou x=3, cuja soma é 2.

Compliquei muito mais do que devia :-P

. Perceber a presença de $2^{x}$ nos dois primeiros termos da equação original foi decisivo! De novo, obrigado.

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