Inequação Logarítmica

por **crsjcarlos** » Qui Dez 06, 2012 10:42

Para que valores de x, x $\in$ [0 , 2 $\pi$ ] verifica-se a desigualdade:

$log_{cosx}^{(1 + 2cosx)}$ + $log_{cosx}^{(1 + cosx)}$ > 1

Resposta: $\frac{\pi }{3}$ < x < $\frac{\pi }{2}$ ou $\frac{3\pi }{2}$ < x < $\frac{5\pi }{3}$

por **e8group** » Qui Dez 06, 2012 17:58

Pela condição de existência $cos(x)> 0 \ \text{e} \ cos(x) \neq 1$ .Uma vez que $cos(x) > 0 , cos(x) + 1 \ \text{e} \ 1 + 2cos(x) > 0$ .Assim obtemos o seguinte intervalo ,

$cos(x) \in (0,1) \implies x \in (0,\pi/2) \cup (3\pi/2,2\pi)$ . Desenvolvendo a inequação ,

$log_{cos(x)}(cos(x)+1) + log_{cos(x)}(2 cos(x)+1)> 1 \\ \implies log_{cos(x)}[(cos(x)+1)(2 cos(x)+1)] > 1 = log_{cos(x)}(cos(x))$ .

Assim ,

$(cos(x)+1)(2 cos(x)+1) > cos(x) \implies 2cos^2(x) + 2cos(x) + 1 > 0 \implies 2 cos(x)[cos(x)+1]> -1$ .

Conclusão :

Como , 1 > Im(cos(x)) > 0

vamos ter $Im(cos(x) +1) \in (1,2)$ .Logo ,

$2 cos(x)[cos(x)+1] > 0 , \forall x \in (0,\pi/2) \cup (3\pi/2,2\pi)$ e portanto 2 cos(x)[cos(x)+1] > - 1

.

Não sei como chegar no gabarito .

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