Logaritmos sistemas e equações

por **Allanx** » Sáb Set 24, 2011 15:30

Olá pessoal estava estudando log e me deparei com exercícios onde fiquei completamente perdido, não vou negar, são muitos. Porém, postarei apenas os primeiros de cada sequência, se não for o bastante para resolver os outros eu volto a postar( o correto seria criar um novo tópico, certo?)

1) Simplificar $a^\frac{\log(\log a)}{\log a}$
Essa eu não tive e idéia nem por onde começar, pensei em tentar mudar de base, mas não deu certo... praticamente não saí do zero. Log dentro de log é uma coisa muito estranha para mim, existe alguma regra prática para esse tipo de situação?
Resposta: $\log a$
Consegui resolver a primeira, era bobeira, elevei 10 a log a ( já que estava dividindo) $a^{\log_a \log a}$ podendo assim simplificar para $\log a$

2) Se $x=10^\frac{1}{1-\log z}$ e $y=10^\frac{1}{1-\log x}$ prove que: $z=10^\frac{1}{1-\log y}$
Como cada uma das definições depende da outra eu fiquei perdido ao tentar unificá-las, sem sucesso também. Como faço para isolar uma incógnita em uma situação dessas?

3) Resolver a equação $x^2+x.\log5 -\log2 = 0$
Utilizando as propriedades e transformando tudo em log ficou assim:
$\log\frac{10^x^2.5^x}{2} = \log 1 \Rightarrow 10^x^2.5^x = 2$
Resposta: -1 e log 2

Por enquanto são só essas, tentando refazer meus passos acabei conseguindo algumas que não havia conseguido antes.
Obrigado pela atenção

por **LuizAquino** » Sáb Set 24, 2011 17:07

Allanx escreveu:o correto seria criar um novo tópico, certo?

Sim, por questão de organização. Inclusive, o ideal é que em cada tópico haja apenas um exercício.

Allanx escreveu:1) Simplificar $a^\frac{\log(\log a)}{\log a}$

Note que aplicando mudança de base, podemos dizer que:

$\log_a (\log a) = \frac{\log(\log a)}{\log a}$

Lembrando-se da propriedade $b^{\log_b x} = x$ , temos que:

$a^\frac{\log(\log a)}{\log a} = a^{\log_a (\log a)} = \log a$

Allanx escreveu:2) Se $x=10^\frac{1}{1-\log z}$ e $y=10^\frac{1}{1-\log x}$ prove que: $z=10^\frac{1}{1-\log y}$

Aplicando a definição de logaritmo, podemos escrever que:

$x=10^\frac{1}{1-\log z} \Rightarrow \log x = \frac{1}{1 - \log z} \Rightarrow \log z = 1 - \frac{1}{\log x} \Rightarrow z = 10^{1 - \frac{1}{\log x}}$

$y=10^\frac{1}{1-\log x} \Rightarrow \log y = \frac{1}{1 - \log x} \Rightarrow \log x = 1 - \frac{1}{\log y} \Rightarrow x = 10^{1 - \frac{1}{\log y}}$

Agora basta substituir x na expressão para z.

Allanx escreveu:3) Resolver a equação $x^2+x\log5 -\log2 = 0$

Isso é simplesmente uma equação polinomial do 2° grau. Resolva normalmente calculando o discriminante.

$\Delta = (\log 5)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-\log 2) = (\log 5)^2 + 4\log 2$

Lembrando-se que $\log 5 =\log \frac{10}{2} = 1 - \log 2$ , temos que:

$\Delta = (1 + \log 2)^2$

Agora basta você calcular as duas soluções usando $x = \frac{-\log 5 \pm \sqrt{(1 + \log 2)^2}}{2\cdot 1}$ .

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