Dúvida em exercício - raízes de função quadrática

[Danilo]

Pessoal, tenho uma noção de como resolver o exercício. Mas estou em dúvida no processo da resolução.

Dadas as equações x²-5x+k = 0 e x²-7x+2k = 0 , sabe-se que uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das raízes da primeira equação.Sendo k diferente de 0, determine k .

Bom, sei que, se eu resolver o sistema

r+s=5
r+2s=-7



eu encontro cada raiz e as multiplico entre si e encontro o valor de k. Por que mulplicando a raizes obtemos o valor de k? Outra coisa: penso eu, se são duas equações diferentes penso eu que cada equação têm que ter sua propria variavel. Não entendo por que existe r em uma equação e o mesmo r na outra equação. Para s tudo bem que no problema foi dado que uma raiz é o dobro da outra, mas não entendo porque quem resolveu assumiu uma mesma raiz para as duas equações. Agradeço a quem puder me dar uma luz!

[Russman]

Na 1° equação, isto é, em x²-5x+k=0, sejam w e q suas raízes. Assim, temos o sistema

w + q = 5 (i)
w.q = k (ii)

Na 2° equação, isto é, em x² - 7x + 2k = 0, sejam r e s suas raízes. Assim, temos

r+s = 7(iii)
r.s = 2k (iv)

Suponhamos agora que r = 2w. Então temos, no segundo sistema

2w + s = 7 (v)
w.s = k (vi)

Compare agora a equação (ii) com a (vi). Se w e k são diferentes de zero, então w.q = k e w.s = k somente se s=q .

Portanto, aplicando esse resultado na equação (i) e tomando a equação (v), obtemos o seguinte sistema

w+s = 5
2w + s = 7

de onde w=2 e s=3 e , consequentemente, q=3 e r = 4. Logo, k = 6.

Veja qua aplicando nas equações k=6 obtemos para a primeira a solução S={2,3} e para a segunda S = {3,4}. Veja que os resultado confirmam que uma das raízes é igual a outra e que a outra é o dobro de uma.