(ITA)Equação exponencial

por **natanskt** » Qui Out 07, 2010 22:33

25-(ITA) A soma das raizes reais positivas da equação $4^{x^2}-5.2^{x^2}+4=0$
a-)2
b-)5
c-) $\sqrt{2}$
d-)1
e-) $\sqrt{3}$

minha tentativa de resolução...!
$4^{x^2}-5.2^{x^2}+4=0$
$2^{2x^2}-5.2^{x^2}+4=0 para 2^{x^2}=1$
$y^{2}-5y+4=0$ só que da errado

a alternativa correta do gabarito é C
ajuda galera

por favor!!!

por **VtinxD** » Qui Out 07, 2010 23:24

Boa noite,
Você deve ter errado alguma conta apartir dai,pois dessa equação você acha duas raizes e depois só ${2}^{{x}^{2}} = y$ sendo que o y agora você já sabe porque você acho quando resolveu a equação do 2°Grau , ou você se enganou com as váriaveis resolvendo para y ao invez de para x. Sugiro que reveja as contas mas se mesmo assim não estiver batendo leia a resolução.

Resolução:
${2}^{{x}^{2}} = y$

${y}^{2}-5y+4=0$ Resolvendo essa equação por soma e produto, temos:

${y}_{1} + {y}_{2} = 5$ e ${y}_{1}.{y}_{2} =4$ Sendo ${y}_{1}$ e ${y}_{2}$ As raizes da equação do segundo grau,resolvendo esse sistema ,temos:

${y}_{1} = 1$ e ${y}_{2}= 4$

Agora substituindo na equação exponencial, temos duas soluções de y e por isso teremos 4 soluções para x .Veja:
Para y=1
${2}^{{x}^{2}} =1 \Rightarrow {2}^{{x}^{2}} = {2}^{0} \Rightarrow {x}^{2}=0 \Rightarrow x=\left| 0\right|\Rightarrow {x}_{1}=0 e {x}_{2}=0$
Para y=4
${2}^{{x}^{2}} = 4\Rightarrow {2}^{{x}^{2}}={2}^{2}\Rightarrow {x}^{2}=2\Rightarrow x = \left| \sqrt[2]{2}\right|\Rightarrow {x}_{3}= \sqrt[2]{2} e{x}_{4}=-\sqrt[2]{2}$

Como ele quer a soma das raizes positivas:
$S = \sqrt[2]{2}$

Espero ter ajudado , desculpe se errei.

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Re: (ITA)Equação exponencial

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