exercicio resolv.-funçoes

por **adauto martins** » Ter Jul 31, 2018 20:41

seja $f:\Re \rightarrow \Re$ ,definida por:
f(x+y)=f(x).f(y)

,mostre que:
a)

,admite funçao inversa.
b) $f(x)\succ 0 f(0)=1$

por **adauto martins** » Ter Jul 31, 2018 21:14

soluçao:
mostrar que uma funçao admite funçao inversa,é mostrar que

é bijetiva.
ou seja injetiva e sobrejetiva.

é injetiva,de fato,pois:
sejam $f(x),f(y) \in im(f)$ ,tais que f(x)=f(y)

...entao:
$f(x)=f((x-y)+y)=f(0+y)\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y...$

é sobrejetiva,de fato,pois:
dado $y \in IM(f)$ ,seja $x\in DOM(f)$ ,tal que:
$x=x+a-a\Rightarrow y=f(x+(a-a))=f(x+0)=f(x)$
b)
$f(x)=f((x/2)+(x/2))=f(x/2).f(x/2)\succeq 0...$
se f(x)=0

,sera para todo $x\in\Re$ ,logo:
$f(x)\succ 0...$
$f(0)=f(0+0)=f(0).f(0)\Rightarrow f(0).(1-f(0))=0$ ,como f é positiva,teremos:
$1-f(0)=0\Rightarrow f(0)=1...$

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