[Desafio: função real]Determinar a função f(x)

por **raimundosar** » Qui Mai 05, 2016 19:02

Se uma função real de variável real f satisfaz à condição f(x) + 3f(2 - x) = x + 3 então:
a) f(x) = (x - 1)/4
b) f(x) = (x + 1)/3
c) f(x) = (3 - x)/2
d) f(x) = (x + 2)/5
e) f(x) = (2 - x)/6

por **nakagumahissao** » Sex Mai 06, 2016 00:25

f(x) + 3f(2 - x) = x + 3 [1]

Vamos calcular para x = 2 - x

$f(x) + 3f(2 - x) = x + 3 \Rightarrow f(2-x) + 3f(2 - 2 + x) = 2 - x + 3 \Rightarrow$

$\Rightarrow f(2-x) + 3f(x) = 5 - x \Rightarrow f(2-x) = 5 - x - 3f(x) \;\;\;[2]$

usando este último resultado [2] em [1], obtemos:

$f(x) + 3f(2 - x) = x + 3 \Rightarrow f(x) + 3\left(5 - x - 3f(x) \right) = x + 3 \Rightarrow$

$\Rightarrow f(x) - 9f(x) = x + 3 - 15 + 3x \Rightarrow -8f(x) = 4x - 12$

Dividindo-se ambos os lados desta última equação por (-4), obtem-se:

$\Rightarrow 2f(x) = 3 - x \Rightarrow f(x) = \frac{3 - x }{2}$

Portanto, a resposta procurada é a letra C.

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