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Função Quadratica - FUVEST

Função Quadratica - FUVEST

Mensagempor guijermous » Ter Mar 02, 2010 17:40

Fui resolver os exercícios da parte do vestibular do meu livro, e como desejo prestar para a USP, resolvi fazer uns da Fuvest e não consegui. Poderiam me ajudar?

1) Para que a parábola y = 2x^2 + mx + 5 NÃO intercepte a reta y = 3 , devemos ter quais valores de M ? ( tenho mínima idéia)
2) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática F. O mínimo de F é assumido no ponto de abcissa x = - 1/4. Logo, o valor de F(1) é?
3) O valor em reais de uma pedra semipreciosa é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa, em gramas. Infelizmente uma dessa pedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível. Em relação ao valor original , o prejuízo foi de? ( não sei como calcular o maior possível)
4) O conjunto solução de (-x^2+7x-15) . (x^2+1) < 0 é? (deu resultado diferente)

Todos esses são da Fuvest e não consegui faze-los. Se poderem me ajudar, dar dicas, qualquer ajuda estou grato
Obrigado
:y:
guijermous
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Re: Função Quadratica - FUVEST

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mar 02, 2010 21:48

Boa noite.

Só encontrei um pouquinho de tempo pra resolver a 2 e um pouco da 3 (talvez).

2) Se é uma função quadrática, é uma função do tipo ax^2 +bx +c. Se o ponto (0,0) pertence a essa função, então:

f(0) = a0^2 +b0 +c = 0

Logo, c=0.

Como o ponto (2,1) também pertence a essa função:

f(2) = a2^2 +2b = 1

4a +2b = 1

Se existe um mínimo, então a > 0. Como o valor mínimo é a média aritmética das raízes, e uma delas é zero:

\frac{0+x_2}{2} = \frac{-1}{4}

x_2 = \frac{-1}{2}

Substituindo então:

f(\frac{-1}{2}) = a(\frac{-1}{2})^2 - \frac{b}{2} = 0

\frac{a}{4} = \frac{b}{2}

a = 2b

Agora achando os dois valores pelo sistema, encontrei que b=\frac{1}{10} e a = \frac{1}{5}. A função então é:

f(x) = \frac{x^2}{5} + \frac{x}{10}

f(1) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}

f(1) = 0,3.

Questão 3:

m_1 + m_2 = 8, porque a soma das massas permanece constante mesmo depois de quebrar. O enunciado diz que o preço é:

P = m^{2}_1 + m^{2}_2

O prejuízo é máximo quando o preço for mínimo.

P = m^{2}_1 + (8 - m_1)^{2}

Basta achar o vértice da parábola e você terá o menor valor (eu encontrei 32). O valor inicial era de 64 reais (8^2), então prejuízo foi de 50%.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

P.S.: Acabei de ter uma idéia sobre o primeiro. Não tenho tempo de tentar resolver, mas pensei isso: quando igualamos uma função quadrática y = f(x) a zero, estamos tentando encontrar intersecções com o eixo das abscissas, certo? Tente igualar y=3 e resolver de maneira que delta dê menor que zero.
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Re: Função Quadratica - FUVEST

Mensagempor shiratinha » Ter Mar 02, 2010 22:32

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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D


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