exercicio resolv.funçoes

por **adauto martins** » Qui Ago 16, 2018 19:29

seja $f:I\subseteq \Re\rightarrow \Re$ ,definida por:
f(x.y)=f(x)+f(y)

,mostre que:
a)

admite funçao inversa,e que $I\subseteq \Re$ admite somente valores positivos.
b)
f(1)=0

por **adauto martins** » Qui Ago 16, 2018 19:54

a)
provamos anteriormente que a funçao, g(x+y)=g(x).g(y)

,admite funçao inversa,ou seja:
$({g}^{-1})og(x)=x...$ ,vamos tomar g e provarmos q. $g(x)=({f}^{-1})(x)...$ .
$f(x.y)=f(({g}^{-1})(x).({g}^{-1})(y))=f(({g}^{-1}(x))+f(({g}^{-1}(y))$ $\Rightarrow f(x)={g}^{-1}(x)$ e $f(y)={g}^{-1}(y)$ $\Rightarrow gof(x)=go{g}^{-1}(x)=x\Rightarrow g(x)={f}^{-1}(x)$ ...
como $g(x)\succ 0$ ,provado anteriormente,logo o dominio de f,o intervalo $I\subseteq \Re$ admitira somente valores positivos.
b)
$f(1)=f(1.1)=f(1)+f(1)\Rightarrow 2f(1)-f(1)=0\Rightarrow f(1)=0$ ...
f e g sao ditas equaços funcionais.
exemplo sao as funçoes exponenciais e logaritmicas...

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