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exercicio resolv.-funçoes

Mensagempor adauto martins » Ter Jul 31, 2018 20:41

seja f:\Re \rightarrow \Re,definida por:
f(x+y)=f(x).f(y),mostre que:
a) f,admite funçao inversa.
b)f(x)\succ 0 f(0)=1
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Re: exercicio resolv.-funçoes

Mensagempor adauto martins » Ter Jul 31, 2018 21:14

soluçao:
mostrar que uma funçao admite funçao inversa,é mostrar que f é bijetiva.
ou seja injetiva e sobrejetiva.
f é injetiva,de fato,pois:
sejam f(x),f(y) \in im(f),tais que f(x)=f(y)...entao:
f(x)=f((x-y)+y)=f(0+y)\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y...
f é sobrejetiva,de fato,pois:
dado y \in IM(f),seja x\in DOM(f),tal que:
x=x+a-a\Rightarrow y=f(x+(a-a))=f(x+0)=f(x)
b)
f(x)=f((x/2)+(x/2))=f(x/2).f(x/2)\succeq 0...
se f(x)=0,sera para todo x\in\Re,logo:
f(x)\succ 0...
f(0)=f(0+0)=f(0).f(0)\Rightarrow f(0).(1-f(0))=0,como f é positiva,teremos:
1-f(0)=0\Rightarrow f(0)=1...
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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