[Operação Binária] Dúvida

por **silviopuc** » Qui Dez 12, 2013 22:12

Boa noite,

Esse exercício eu não soube nem iniciar.

Se A é um conjunto não vazio então uma operação binária em A é uma função $f: A X A \rightarrow A$ . Qual é o número de operações binárias em um conjunto A com p elementos?

a) ${p}^{2}$
b) ${p}^{3}$
c) ${p}^{p}^{2}$
d) ${p}^{2}^{p}$
e) ${2}^{p}^{2}$

Gabarito: C

por **e8group** » Sex Dez 13, 2013 00:01

Não tenho certeza se estar correto ,mas obtive como resposta p^3

,de qualquer forma vou postar o que pensei .

Defina $f_i: A^2 \mapsto A$ tal que para cada par ordenado em $(x,y) \in A^2$ fixado, tem-se $f_i(x,y) = x_i \in A$ .Como $\sharp A^2 = \sharp A \cdot \sharp A = p \cdot p =p^2$ e para cada par ordenado (x,y) é possível definir

operações binárias em A ,então ao todo é possível definir $\sum_{i=1}^{p^2} p = p^3$ operações binárias em A .

por **e8group** » Qua Dez 18, 2013 22:45

Está errado . Sejam X ,Y

conjuntos com respectivas cardinalidades m,p

. Defina $f_i : X \mapsto Y$ e mostremos que há p^m

aplicações do conjunto

ao

.

Suponha $X =\{x_1,x_2,\hdots , x_m\}$ e $Y =\{y_1,y_2,\hdots , y_p\}$ .

Veja o esquema a figura abaixo :

segmentos de retas verticais com as possíveis imagens pela aplicação :

Parti

(L_1) e chegar em y_2

(em L_2) significar que é possível definir uma aplicação tal que x_1

é levado a imagem y_1

e

é levado a imagem y_2

. Uma aplicação ficará bem determinada quando escolhemos um caminho que nos conecta de um ponto de $L_{i}$ ao outro de $L_{i+1}$ (i=1,... p-1) .

Objetivo migar de L_i

e $L_{i+1}$ ao longo de L_1,...,L_m

: $L_1 \rightarrow L_2 \rightarrow \hdots \rightarrow L_m$

Partindo de L_1

há

formas de chegar em L_2

pelo que também há

maneiras de chegar em L_3

,..., e o mesmo para chegar em L_m

de $L_{m-1}$ . Por estes esquema há $m \cdot m \cdot m \cdots m = m^p$ (p-vezes) de executar $L_1 \rightarrow L_2 \rightarrow \hdots \rightarrow L_m$ e portanto há p^m

aplicações do conjunto

ao

.

Daí em particular para Y =A

e $X = A \times A = A^2$ teremos $p^{p^2}$ .

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