Inequação Modular

por **Rafael16** » Qui Mar 08, 2012 20:24

Boa noite galera!

Resolvi a seguinte inequação, mas a resposta está errada de acordo com meu livro:

$\left|\frac{x - 1}{x - 2} \right| < 3$

1ª inequação

$\frac{x - 1}{x - 2} < 3$

$\frac{x - 1}{x - 2} - 3 < 0$

Resolvendo isso, ficou assim:

$\frac{-2x + 5}{x - 2} < 0$

Depois disso, tirei a raiz do numerador e do denominador para ver quais valores de x satisfaz essa inequação.

Agora resolvendo:

2ª inequação

$\frac{x - 1}{x - 2} > -3$

$\frac{x - 1}{x - 2} + 3 > 0$

dando:

$\frac{4x - 7}{x - 2} > 0$

Depois disso, tirei a raiz do numerador e do denominador para ver quais valores de x satisfaz essa inequação.

Depois de ter tirado as raízes das duas inequações, joguei na reta a 1ª inequação para saber os valores de x para que a inequação seja menor que 0, e fazendo o mesmo para a 2ª inequação, só que dessa vez para achar os valores de x para que seja maior que 0.
E em seguida, coloquei as retas das duas inequações paralelas para fazer a intersecção para achar os valores de x para satisfazer as duas inequações.
E minha resposta foi:
S = {x ? ?| $x < \frac{7}{4}$ ou $x > \frac{5}{2}$

A resposta do meu livro é:
S = {x ? ?| $x < \frac{7}{4}$ ou x > 2

}

Valeu gente!

por **LuizAquino** » Qui Mar 08, 2012 21:12

Rafael16 escreveu:Resolvi a seguinte inequação, mas a resposta está errada de acordo com meu livro:

$\left|\frac{x - 1}{x - 2} \right| < 3$

Rafael16 escreveu:1ª inequação

$\frac{x - 1}{x - 2} < 3$

$\frac{x - 1}{x - 2} - 3 < 0$

Resolvendo isso, ficou assim:

$\frac{-2x + 5}{x - 2} < 0$

A inequação será essa apenas quando $\frac{x - 1}{x - 2} \geq 0$ (o que significa que $\left|\frac{x - 1}{x - 2} \right| = \frac{x - 1}{x - 2}$ ). Desse modo, você tem um sistema de inequações:

$\begin{cases} \dfrac{x - 1}{x - 2} \geq 0 \\ \\ \dfrac{-2x + 5}{x - 2} < 0 \end{cases}$

Resolvendo esse sistema, você obtém a solução S_1

.

Rafael16 escreveu:Agora resolvendo:

2ª inequação

$\frac{x - 1}{x - 2} > -3$

$\frac{x - 1}{x - 2} + 3 > 0$

dando:
$\frac{4x - 7}{x - 2} > 0$

A inequação será essa apenas quando $\frac{x - 1}{x - 2} < 0$ (o que significa que $\left|\frac{x - 1}{x - 2} \right| = -\frac{x - 1}{x - 2}$ ). Desse modo, você tem um sistema de inequações:

$\begin{cases} \dfrac{x - 1}{x - 2} < 0 \\ \\ \dfrac{4x - 7}{x - 2} > 0 \end{cases}$

Resolvendo esse sistema, você obtém a solução S_2

.

Dessa forma, a solução final da inequação original será $S = S_1 \cup S_2$ .

por **Rafael16** » Qui Mar 08, 2012 21:21

Obrigado LuizAquino :-D

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