Funções - Como resolvê-las

por **ViniRFB** » Sáb Mar 03, 2012 12:40

Olá amigos e amigas.
Nessa questão preciso de uma ajuda em sua completude.

(ISS-NATAL - 2008 / ESAF) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade: f(x) - (x+1). f (Raiz quadrada de 2 - x) = Raiz Cúbica de x , para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a:

Gabarito é - 2 elevado a -1/3.

Peço desculpas que não sei usar o símbolos aqui ainda, mas eu tentei.

Caríssimos minha primeira dúvida paira sobre essa função mesmo, propriamente dita, acredito que quando uma questão pede f(9) por exemplo, é que devemos substituir o 9 pela letra x, correto?
Agora preciso de uma ajuda na resolução mesmo.

Conto com vocês.

Abraços

ViniRFB

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 16:10

ViniRFB escreveu:(ISS-NATAL - 2008 / ESAF) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade: f(x) - (x+1). f (Raiz quadrada de 2 - x) = Raiz Cúbica de x , para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a:

Gabarito é - 2 elevado a -1/3.

ViniRFB escreveu:Peço desculpas que não sei usar o símbolos aqui ainda, mas eu tentei.

Por favor, tente mais! Isso deixará as suas mensagens mais legíveis.

Lembre-se que durante a edição de suas mensagens há a opção de usar o Editor de Fórmulas.

Além disso, leia com atenção o tópico:

DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
viewtopic.php?f=9&t=74

ViniRFB escreveu:Caríssimos minha primeira dúvida paira sobre essa função mesmo, propriamente dita, acredito que quando uma questão pede f(9) por exemplo, é que devemos substituir o 9 pela letra x, correto?

Sim, correto.

O exercício diz que para todo x inteiro a função satisfaz:

$f(x) - (x+1)f \left(\sqrt{2} - x\right) = \sqrt[3]{x}$

Para calcular f(0), precisamos fazer x = 0. Temos então que:

$f(0) - (0+1)f \left(\sqrt{2} - 0\right) = \sqrt[3]{0}$

$f(0) - f \left(\sqrt{2}\right) = 0$

$f(0) = f \left(\sqrt{2}\right)$

Ou seja, temos que para x = 0 ou para $x = \sqrt{2}$ a função possui o mesmo valor.

A relação dada no exercício apenas é válida para número inteiros. Acontece que $\sqrt{2}$ não é um número inteiro. Sendo assim, não podemos substituir x por $\sqrt{2}$ na relação.

Para que a reposta seja aquela indicada no gabarito, o texto do exercício deveria dizer que a relação é válida para todo x real.

Nesse caso, podemos substituir x por $\sqrt{2}$ na relação:

$f\left(\sqrt{2}\right) - \left(\sqrt{2}+1\right)f \left(\sqrt{2} - \sqrt{2}\right) = \sqrt[3]{\sqrt{2}}$

$f\left(\sqrt{2}\right) - \left(\sqrt{2}+1\right)f \left(0\right) = \sqrt[6]{2}$

Como sabemos que $f(0) = f \left(\sqrt{2}\right)$ , podemos escrever que:

$f(0) - \left(\sqrt{2}+1\right)f(0) = \sqrt[6]{2}$

$\left[1 - \left(\sqrt{2}+1\right)\right]f(0) = \sqrt[6]{2}$

$-\sqrt{2}f(0) = \sqrt[6]{2}$

$f(0) = -\frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt{2}}$

$f(0) = -\frac{2^{\frac{1}{6}}}{2^\frac{1}{2}}$

$f(0) = -2^{-\frac{1}{3}}$

por **ViniRFB** » Sáb Mar 03, 2012 16:58

por **ViniRFB** » Sáb Mar 03, 2012 17:04

Desconsidere a msg anterior.

Deixa eu ver como eu faço as fórmulas. Já irei postar algo sobre a resolução.

por **ViniRFB** » Sáb Mar 03, 2012 19:58

N SEI USAR ESSAS FÓRMULAS. DESISTO

OBRIGADO PROFESSOR.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 22:19

ViniRFB escreveu:N SEI USAR ESSAS FÓRMULAS. DESISTO

Quais fórmulas?

por **ViniRFB** » Dom Mar 04, 2012 01:54

Quero usá-las para explicar minhas dificuldades, mas tem que ser um hiper cara para entender essas fórmulas ou estudar um tempão para poder postar, daí atualmente não tenho esse time para ler entender e tal, pois o tempo que perco nessas fórmulas é algumas questões que deixo para trás.

Que coisa triste para mim, pois vocês os professores ajudam um monte a gente aqui, mas essas fórmulas complicam para expor às dúvidas.

por **LuizAquino** » Dom Mar 04, 2012 08:27

ViniRFB escreveu:Quero usá-las para explicar minhas dificuldades (...)

E você pode fazer isso!

ViniRFB escreveu:(...) mas tem que ser um hiper cara para entender essas fórmulas (...)

Não precisa. Além disso, há o Editor de Fórmulas para ajudar.

ViniRFB escreveu:(...) ou estudar um tempão para poder postar (...)

Se você ler atentamente o tópico indicado acima, então no máximo em 30 minutos já sabe digitar as notações básicas (frações, potências, raízes, etc).

ViniRFB escreveu:(...) daí atualmente não tenho esse time para ler entender e tal, pois o tempo que perco nessas fórmulas é algumas questões que deixo para trás (...)

Pense no seguinte: se quem está lhe dando ajuda pode "perder" o tempo dele digitando essas fórmulas, então por que você que está recebendo a ajuda também não pode "perder" esse tempo?

Além disso, o (pouquíssimo) tempo que você vai "perder" aprendendo a digitar as notações, vai ser muito útil para todas as outras vezes que você precisar de ajuda aqui no fórum.

ViniRFB escreveu:(...) Que coisa triste para mim, pois vocês os professores ajudam um monte a gente aqui, mas essas fórmulas complicam para expor às dúvidas.

Elas não complicam! Elas facilitam! Seria muito mais difícil ler as mensagens se elas não estivessem em uma notação conveniente.

Só para exemplificar, considere a seguinte passagem da resolução que postei anteriormente:

$f\left(\sqrt{2}\right) - \left(\sqrt{2}+1\right)f \left(\sqrt{2} - \sqrt{2}\right) = \sqrt[3]{\sqrt{2}}$

Sem usar uma notação conveniente, essa passagem seria escrita como:

f(2^(1/2)) - [2^(1/2) + 1]f(2^(1/2) - 2^(1/2)) = [2^(1/2)]^(1/3)

Agora seja sincero: qual das duas formas de escrita facilitou mais a leitura?

por **ViniRFB** » Seg Mar 05, 2012 02:24

Luiz Aquino você tem razão em tudo que falaste.

Então minha dúvida é a seguinte ainda.

f(0) - (0+1) = -1 ?

Se for esse valor -1 foi multiplicado por f $(\sqrt{2}-0)$ como uma distributiva ou não, se não como foi feita?

Obrigado

ViniRFB

por **LuizAquino** » Seg Mar 05, 2012 14:17

ViniRFB escreveu:f(0) - (0+1) = -1 ?

Se for esse valor -1 foi multiplicado por $f (\sqrt{2}-0)$ como uma distributiva ou não, se não como foi feita?

Você deve estar se referindo a essa passagem:

$f(0) - (0+1)f \left(\sqrt{2} - 0\right) = \sqrt[3]{0}$

$f(0) - f \left(\sqrt{2}\right) = 0$

Quanto vale a expressão -(0 + 1)? Ora, isso é igual a -1.

Além disso, note que escrever $- (0+1)f \left(\sqrt{2} - 0\right)$ é a mesma coisa que dizer que: multiplique o número -(0 + 1) pelo número $f \left(\sqrt{2} - 0\right)$ .

Lembrando então que -(0 + 1) é igual a -1, estamos multiplicando -1 por $f \left(\sqrt{2} - 0\right)$ . Qual é o resultado disso? Ora, o resultado disso será simplesmente $-f \left(\sqrt{2} - 0\right)$ .

por **ViniRFB** » Seg Mar 05, 2012 14:49

Grato professor. :y:

Consegui resolver então!

Abraços e até a próxima.

OBS: Viu que coloquei as fórmulas? Peguei o tópico que me indicaste e imprimi assim vou vendo no papel enquanto digito.

por **LuizAquino** » Seg Mar 05, 2012 15:32

ViniRFB escreveu:Viu que coloquei as fórmulas?

Sim.

ViniRFB escreveu:Peguei o tópico que me indicaste e imprimi assim vou vendo no papel enquanto digito.

Em pouco tempo você estará tão acostumado com os comandos que nem precisará olhar o papel.

por **ViniRFB** » Seg Mar 05, 2012 16:55

$f.( \sqrt{2}- \sqrt{2}) = f(0)$ por que?

por **LuizAquino** » Seg Mar 05, 2012 18:46

ViniRFB escreveu: $f( \sqrt{2}- \sqrt{2}) = f(0)$ por que?

Subtraindo um número por ele mesmo, qual é o resultado obtido?

Ou seja, sendo x um número, qual é o resultado de x - x?

por **ViniRFB** » Seg Mar 05, 2012 21:03

x-x = 0

por **LuizAquino** » Seg Mar 05, 2012 21:13

ViniRFB escreveu:x-x = 0

Sendo assim, você já sabe que $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ .

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