classificação de uma função f através da lei de associação

por **Fabiana Sa** » Sáb Fev 04, 2012 01:35

Estou com dificuldades nas resoluções de exercícios que envolvem a classificação da função em bijetora,injetora ou sobrejetora através da lei de associação
y=f(x).Pesquisei em um livro de matemática (MATEMÁTICA-MANOEL PAIVA-1) e encontrei uma definição para classificação de uma função:
1.Se para qualquer y,y pertence ao CD(f),a equação na variável x:f(x)=ytem uma pelo menos uma solução, então f é sobrejetora.
2.Se para todo y,y pertence IM(f),a equação na variável x:f(x)=y tem uma única solução,então f é injetora.
3.Se para qualquer y,y pertence CD(f),a equação na variável x:f(x)=y tem uma única soluçao,então f é bijetora.
No livro tem um exemplo :
Classificar a função f:R-R tal que f(x)=2x -1 como sobrejetora,injetora ou bijetora.Resposta-bijetora.
Gostaria de uma explicação mais clara em relação a teoria,que facilitasse uma maior compreensão e domínio do assunto.

por **ant_dii** » Sáb Fev 04, 2012 03:28

Fabiana Sa escreveu:Estou com dificuldades nas resoluções de exercícios que envolvem a classificação da função em bijetora,injetora ou sobrejetora através da lei de associação
y=f(x).Pesquisei em um livro de matemática (MATEMÁTICA-MANOEL PAIVA-1) e encontrei uma definição para classificação de uma função:
1.Se para qualquer y,y pertence ao CD(f),a equação na variável x:f(x)=ytem uma pelo menos uma solução, então f é sobrejetora.
2.Se para todo y,y pertence IM(f),a equação na variável x:f(x)=y tem uma única solução,então f é injetora.
3.Se para qualquer y,y pertence CD(f),a equação na variável x:f(x)=y tem uma única soluçao,então f é bijetora.
No livro tem um exemplo :
Classificar a função f:R-R tal que f(x)=2x -1 como sobrejetora,injetora ou bijetora.Resposta-bijetora.
Gostaria de uma explicação mais clara em relação a teoria,que facilitasse uma maior compreensão e domínio do assunto.

Veja se isto ajuda, pois o que você disse esta muito confuso pra mim também...
Dizemos que uma função $f: A \rightarrow B$ é injetora quando para quaisquer elementos x_1

e

de A (Domínio), f(x_1) = f(x_2)

implica

. Em outras palavras, quando $x_1 \neq x_2$ , em A, implica $f(x_1) \neq f(x_2)$ em B (Contradomínio). Veja exemplo de não injetora

: Diferentes valores para x geram valores iguais em y...

Exemplo de injetora

: Diferentes valores em x geram diferentes valores em y...; cubica.png (5.76 KiB) Exibido 3570 vezes

Dizemos que uma função $f: A \rightarrow B$ sobrejetora quando para todo $y \in B$ , existe pelo menos um $x \in A$ tal que f(x) = y

. São exemplos:
A função $f:\mathbb{R}-2 \rightarrow :\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\frac{x-1}{x-2}$ não é sobrejetora, veja que o ponto P não esta sobre o gráfico:

: O ponto P não pertence ao gráfico da função dada...; ñsobre.png (5.98 KiB) Exibido 3570 vezes

Já a função $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por g(x)=(x-2)^3+1

é sobrejetora. Observe que a imagem é todo o contradomínio:

: O conjunto imagem é igual ao contradomínio...; sobre.png (4.65 KiB) Exibido 3570 vezes

Dizemos que uma função $f: A \rightarrow B$ chama-se bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Agora, quanto

Fabiana Sa escreveu:Classificar a função f:R-R tal que f(x)=2x -1 como sobrejetora,injetora ou bijetora.Resposta-bijetora.

Sim, é bijetora. Como provar isso?
Vejamos, tomando dois valores reais quaisquer digamos x_1

e

, tal que

, então

e

implicam que $2(x_1)-1=2(x_2)-1 \Rightarrow 2(x_1)=2(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ , portanto f é injetora.

Por outro lado, se fizermos
$f(x)=2x -1 \Rightarrow y=2x-1\Rightarrow y+1=2x \Rightarrow x=\frac{y+1}{2}$

e substituirmos diretamente na função o valor de x que encontramos, teremos

$f(x)=2x-1 \Rightarrow f(x)=f\left(\frac{y+1}{2}\right)=2 \left(\frac{y+1}{2}\right)-1=y+1-1=y \Rightarrow f(x)=y$

Logo, f é sobrejetora...
Conclui-se então que f é bijetora, pois é sobrejetora e injetora.

Pode-se generalizar esse resultado para qualquer função afim, f(x)=ax+b

, mas isso fica de exercício pra você...

por **LuizAquino** » Sáb Fev 04, 2012 03:52

Fabiana Sa escreveu:1. Se para qualquer y, y pertence ao CD(f), a equação na variável x: f(x)=y tem uma pelo menos uma solução, então f é sobrejetora.

Você já deve saber que uma função é sobrejetora quando o seu contradomínio é igual a sua imagem.

Isso significa que para qualquer y0 que você escolha no contradomínio, haverá pelo menos um x0 no domínio tal que f(x0) = y0.

Em outras palavras: a equação (em x) dada por f(x)=y tem pelo menos uma solução.

Por exemplo, considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que f(x)=2x -1

. Escolha um valor y qualquer no contradomínio de f (que é $\mathbb{R}$ ) . Agora tente resolver a equação (em x) dada por:

2x - 1 = y

Ora, facilmente calculamos que:

$x = \frac{y+1}{2}$

Como podemos obter pelo menos essa solução, então f é sobrejetora.

Agora considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que f(x)= x^2

. Escolha um valor y qualquer no contradomínio de f (que é $\mathbb{R}$ ) . Agora tente resolver a equação (em x) dada por:

x^2 = y

Aqui nós teremos um problema! Somente se y for um número positivo ou nulo, que nós podemos escrever:

$x = \pm \sqrt{y}$

Note que se y for um número negativo (o que pode acontecer já que os números negativos fazem parte do contradomínio dessa funcão), então não poderíamos encontrar um número x no domínio (que é $\mathbb{R}$ ) tal que solucionasse a equação.

Portanto, essa função não é sobrejetora.

Fabiana Sa escreveu:2. Se para todo y, y pertence IM(f), a equação na variável x: f(x)=y tem uma única solução, então f é injetora.

Você já deve saber que uma função é injetora quando quaisquer dois elementos distintos do domínio estão associados a dois elementos distintos da imagem.

Isso significa que para qualquer y0 que você escolha na imagem, haverá somente um x0 no domínio tal que f(x0) = y0.

Em outras palavras: a equação (em x) dada por f(x)=y tem uma única solução.

Por exemplo, considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que f(x)=2x -1

. Escolha um valor y qualquer na imagem de f (que é $\mathbb{R}$ ) . Agora tente resolver a equação (em x) dada por:

2x - 1 = y

Como já sabemos, uma solução é dada por:

$x = \frac{y+1}{2}$

Ora, mas acontece que essa é a única solução possível!

Portanto, a função é injetora.

Agora considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que f(x)= x^2

. Escolha um valor y qualquer na imagem de f (que é $\mathbb{R}_+$ ) . Agora tente resolver a equação (em x) dada por:

x^2 = y

Como y é um número positivo ou nulo, então podemos determinar que:

$x = \pm\sqrt{y}$

Como há duas soluções, então temos que a função não é injetora.

Fabiana Sa escreveu:3. Se para qualquer y, y pertence CD(f), a equação na variável x: f(x)=y tem uma única soluçao, então f é bijetora.

Você já deve saber que uma função é bijetora quando for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Isso significa que para qualquer y0 que você escolha no contradomínio, haverá somente um x0 no domínio tal que f(x0) = y0.

Em outras palavras: a equação (em x) dada por f(x)=y tem uma única solução.

Por exemplo, considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que f(x)=2x -1

. Escolha um valor y qualquer no contradomínio de f (que é $\mathbb{R}$ ) . Agora tente resolver a equação (em x) dada por:

2x - 1 = y

Como já sabemos, a única solução é dada por:

$x = \frac{y+1}{2}$

Portanto, a função é bijetora.

Agora considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que f(x)= x^2

. Escolha um valor y qualquer no contradomínio de f (que é $\mathbb{R}$ ) . Agora tente resolver a equação (em x) dada por:

x^2 = y

Como sabemos, essa equação pode não ter solução (quando y for negativo), ter apenas uma solução (quando y for zero) ou ter duas soluções distintas (quando y for positivo). Em resumo: dependendo do y escolhido no contradomínio, a solução pode não ser única.

Portanto, essa função não é bijetora.

por **Fabiana Sa** » Ter Fev 07, 2012 13:42

Obrigada pela ajuda

Estou resolvendo provas de anos anteriores das universidades daqui da Bahia (principalmente as estaduais e federais ) e conto com a ajuda de vcs para qualquer dificuldade nas resoluções das questões :y:

!

por **LuizAquino** » Ter Fev 07, 2012 14:36

Fabiana Sa escreveu:Estou resolvendo provas de anos anteriores das universidades daqui da Bahia (principalmente as estaduais e federais ) e conto com a ajuda de vcs para qualquer dificuldade nas resoluções das questões!

Nós estamos aqui para ajudar!

Você já conhece o canal do Nerckie no Youtube? Ele é uma boa fonte para o estudo:

http://www.youtube.com/nerckie

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