Função quadrática

por **barbaradaiprai** » Dom Nov 06, 2011 21:51

Oiii
Eu preciso que alguém em ajude a como eu desenvolvo esta questão.

Quero construir uma quadra de futebol de salão retangular. Para cercá-la, disponho de 60m de alambrado pré-fabricado, e, por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. A partir disso:
a) determine a área do cercado em função de um dos lados.
b) construa o gráfico dessa função.
c) verifique as dimensões para que o terreno tenha área máxima.

Por favor, se alguém souber, me ajude;

por **Renato_RJ** » Seg Nov 07, 2011 10:00

Bom dia Bárbara !! Tudo bem ??

Vejamos se posso lhe ajudar.. Esse me parece um típico problema de otimização...

Sejam a e b os lados da sua cerca, como você irá utilizar o muro como um lado também (por economia) então o seu perímetro será P = a+2b

, logo temos:

$60 = a + 2b \, \Rightarrow \, b = \frac{60 - a}{2}$

A sua área será:

$A = ab \, \Rightarrow \, A = a \cdot \frac{(60 - a)}{2} \, \Rightarrow \, A = \frac{(60a - a^2)}{2}$

Aqui já temos a área em função de um dos lados (letra a), o gráfico é fácil verificar que será uma parábola com vértice em (30,450), sendo que sua concavidade é para baixo, pois o coeficiente líder da parábola é negativo...

As dimensões para que o terreno tenha área máxima você pode resolver de duas formas, uma é usando o cálculo (faça a derivada da área em função de a e estude seu sinal para achar o ponto de máximo da função) ou, simplesmente, perceba que o vértice já é o ponto de máximo da sua função, sendo a = 30 para uma área máxima, mas essa análise usando o vértice só vale pois o vértice está no primeiro quadrante (isto é, a é positivo), caso contrário teria que derivar a área em função de a para saber o ponto de máximo dentro do primeiro quadrante (isto é, seria um máximo local e não global como no caso do vértice).

Espero ter ajudado...
[ ] 's
Renato.

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