Demonstre a propriedade

[Aliocha Karamazov]

Galera, tenho um exercício de demonstrar as propriedade da imagem de uma função. Sempre que posto no fórum, mostro como tentei fazer o exercício. Dessa vez, o problema é que não sei como demonstrar nesse caso específico. Gostaria de uma ajuda no primeiro exercício, aí eu faço os outros...

Só para deixar claro, denota a imagem do conjunto X através da função f. X é um subconjunto do domínio. O exercício é esse:

Prove que

Agradeço a quem puder ajudar.

[Guill]

Sejam f(x) e f(y) duas imagens das respectívas funções x e y. Sendo assim:

f(x)?f(y) representa a união das imagens dos conjuntos x e y.


Sabe-se que a imagem de um conjunto é obtida pelos valores de seu domínio. Como x e y são os domínios das funções f(x) e f(y), f(x)?f(y) é o agrupamento das imagens. Sabemos que as imagens f(x) e f(y) são obtidas a partir de x e y. Logo, se reunirmos os termos que foram usados para encontrar as imagens f(x) e f(y) e jogarmos na função, teremos os mesmos valores. Com isso:

f(x?y) = f(x)?f(y)



Poderia ter feito assim:

Seja x e y, conjuntos tais que:

x = {a;b;c;d;e...}
y = {f;g;h;i;j...}

As imagens f(x) e f(y) são:

f(x) = f(a) ; f(b) ; f(c) ; f(d) ; f(e)...
f(y) = f(f) ; f(g) ; f(h) ; f(i) ; f(j)...


Podemos definir assim:

x?y = {a;b;c;d;e...f;g;h;i;j...}

A união das imagens é:

f(x)?f(y) = f(a) ; f(b) ; f(c) ; f(d) ; f(e)...f(f) ; f(g) ; f(h) ; f(i) ; f(j)...


Sabe-se que:

f(x?y) = f(a) ; f(b) ; f(c) ; f(d) ; f(e)...f(f) ; f(g) ; f(h) ; f(i) ; f(j)... pois x?y = {a;b;c;d;e...f;g;h;i;j...}. Sendo assim, podemos determinar que:

f(x?y) = f(x)?f(y)