Funções -conjuntos

por **benni** » Ter Jun 14, 2011 15:22

Considere os conjuntos A ={a1, a2, a3} e B ={b1, b2, b3}.Quantas funções podem ser definidas de A para B ? Explicite cada uma destas funções.

por **arima** » Ter Jun 14, 2011 23:35

Eu também estou com duvidas nesta questão. Mas acho que podemos fazer um diagrama de flecha fazendo todas as possibilidades de funçoes do conjunto A para o conjunto B.

por **Abner** » Dom Jun 19, 2011 20:26

Benni e Arima vcs conseguiram resolver esta questão?

por **arima** » Seg Jun 20, 2011 17:08

Ainda não fiz. Aquele Tutor não explica direito.

por **FilipeCaceres** » Seg Jun 20, 2011 17:27

Acredito que basta fazer isto, para saber a quantidade de funções, façamos o número de elementos de B elevado ao número de elementos de A, assim temos:
3^3=27

, ou seja, temos 27 funções.

Ex.: $\{(a_1,b_1),(a_1,b_2)\}$

Abraço.

por **Abner** » Seg Jun 20, 2011 18:26

Filipe mas o exemplo que vc colocou seria uma função já que a1 se relaciona com b1 e b2 ?

por **FilipeCaceres** » Seg Jun 20, 2011 21:33

Ignora minha mensagem anterior, vou tentar explicar com mais calma agora.

Dado os conjuntos A ={a1, a2, a3} e B ={b1, b2, b3}.

Primeiro vejamos produto AXB, que neste caso possui 27 pares ordenados.
A×B = $\{(a_1,b_1),(a_1,b_2),...,(a_3,b_3)\}$

Vejamos agora as relções de AXB,
1º)Podemos ter relações contendo nenhum par ordenado.
2º)Podemos ter relações contendo 1 par ordenado.
3º)Podemos ter relações contendo 2 pares ordenados.
...
nº)Podemos ter relações contendo todos pares ordenados.

Uma forma de contar quantos pares ordenados existem é usando a seguinte identidade:
$C_{n,0} + C_{n,}1 + C_{n,2} + ... + C_{n,n-1} + C_{n,n} = 2^n$

Desta forma temos um total de $2^{27}$ relações.

Para obter todas as funções em A×B, devemos analisar os casos obtidos.
1º) A relação que não tem nunhum par ordenado não é uma função, pois ela não possui qualquer elemento no domínio A e nem mesmo no contradomínio B.
2º) A relação que tem 1 par ordenado não são funções porque em cada caso, apenas um dos elementos de A está associado a elementos de B e pela definição de função, todos os elementos de A deveriam estar associados a elementos de B.
...
nº) A relação que contem todos pares ordenados não é uma função pois um mesmo elemento a em A está associado a dois outros em B.

Enfim, devemos descobrir quais são funções, para que seja uma função todos os elementos de A devem estar ligados a um elemento de B. Desta forma,
Só as relações $\{(a_1,b_1),(a_2,b_1),(a_3,b_1)\}$ , $\{(a_1,b_1),(a_2,b_1),(a_3,b_2)\}$ , $\{(a_1,b_1),(a_2,b_1),(a_3,b_3)\}$ , ..., $\{(a_1,b_3),(a_2,b_3),(a_3,b_3)\}$ são funções em A×B.

Agora devemos classificá-los, como:

Injetoras
$f:A\rightarrow B$ é injetora quando $\forall \,x_1,x_2 \, \in \, D(f), \, x_1\neq x_2 \Rightarrow \,f(x_1)\neq f(x_2)$

Sobrejetoras
$f:A\rightarrow B$ é sobrejetora quando $\forall \,y \, \in \, CD(f),\exists \,x \, \in \,D(f)/f(x)=y$

Bijetoras.
$f:A\rightarrow B$ é sobrejetora quando f é injetora e sobrejora ao mesmo tempo.

Espero ter contribuído um pouco.

Como referência deixo.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o
http://pessoal.sercomtel.com.br/matemat ... coes-a.htm

por **arima** » Seg Jun 20, 2011 23:09

Obrigada pela ajuda se não for pedir muito de uma olhada nesse exercício:
. Considere o conjunto de escritores
E = {Luís de Camões, Érico Veríssimo, Jorge Luís Borges}
e o conjunto de obras
O = {A Eneida, Os Lusíadas, O Tempo e o Vento, Ficções}
Construa, se possível, um subconjunto do produto cartesiano E × O que seja:

a) função injetora e não sobrejetora.

ExO={ (Luís de Camões, Os Lusíadas), (Luís de Camões, Ficções), (Érico Veríssimo, O Tempo e o Vento), Érico Veríssimo, Ficções) ,(Jorge Luís Borges, Ficções) }

Portanto não forma função e nem função injetora.
Eu perguntei para uma professora de português e ela disse que todos os autores escreveram ficçoes alem dos livros ja escritos. Será que esta certo o exercício ou ele quer que construa uma funão qualquer?

por **FilipeCaceres** » Ter Jun 21, 2011 02:02

Observe que o conjunto E é formado por 3 elementos, sendo assim, para que seja uma função os 3 elementos devem estar relacionados ao conjunto O.
A questão pede que seja injetora, logo, devemos ter que todos os elementos de E devem estar ligados a elementos diferentes em O.

Deste forma temos que,
ExO={(Luís de Camões, Os Lusíadas),(Érico Veríssimo, O Tempo e o Vento), (Jorge Luís Borges, Ficções)}

Que é injetora e não sobrejetora.

Abraço.

por **arima** » Ter Jun 21, 2011 09:59

Obrigada pelo esclarecimento.Abraço.

por **LuizAquino** » Ter Jun 21, 2011 17:21

Considerando que A e B são conjuntos com 3 elementos cada, existem três tipos de função que podemos formar de A para B. A figura abaixo ilustra cada um dos tipos.

: funcoes.png (6.02 KiB) Exibido 6998 vezes

Agora, basta contar quantas possibilidades há para cada tipo e explicitá-las.

Observações

FilipeCaceres escreveu:Dado os conjuntos A ={a1, a2, a3} e B ={b1, b2, b3}.
Primeiro vejamos produto AXB, que neste caso possui 27 pares ordenados.
$A\times B = \{(a_1,b_1),(a_1,b_2),\ldots,(a_3,b_3)\}$

Lembre-se que $n(A\times B) = n(A)\cdot n(B)$ . Portanto, nesse caso temos $n(A\times B) = 9$ .

FilipeCaceres escreveu:Desta forma temos um total de $2^{27}$ relações.

Pelo que foi exposto antes, temos um total de $2^{9}$ relações possíveis.

FilipeCaceres escreveu:Agora devemos classificá-los, como:

Injetoras
$f:A\rightarrow B$ é injetora quando $\forall \,x_1,x_2 \, \in \, D(f), \, x_1\neq x_2 \Rightarrow \,f(x_1)\neq f(x_2)$

Sobrejetoras
$f:A\rightarrow B$ é sobrejetora quando $\forall \,y \, \in \, CD(f),\exists \,x \, \in \,D(f)/f(x)=y$

Bijetoras.
$f:A\rightarrow B$ é sobrejetora quando f é injetora e sobrejora ao mesmo tempo.

Cuidado! Lembre-se que há funções que não entram em nenhuma dessas classificações.

por **arima** » Ter Jun 21, 2011 22:19

Muito obrigada pela ajuda.

por **arima** » Ter Jun 21, 2011 22:19

Muito obrigada pela ajuda.

por **cicero** » Dom Jun 26, 2011 16:12

FilipeCaceres escreveu:Acredito que basta fazer isto, para saber a quantidade de funções, façamos o número de elementos de B elevado ao número de elementos de A, assim temos:
, ou seja, temos 27 funções.

Ex.: $\{(a_1,b_1),(a_1,b_2)\}$

Observações:

1 - O número de funções não é encontrado da forma com você fez, e sim utliza-se o princípio fundamental da contagem, pois para cada elemento do conjunto A =
{a1; a2; a3} temos três opções, como seuge:

3 x 3 x 3 = 27 funções possíveis.
___ ____ ____
1º 2º 3º

2 - O exemplo acima não é uma função.
Abraço.