por PeterHiggs » Qui Mai 31, 2012 10:15
Prove que
![\sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2} \sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2}](/latexrender/pictures/2cfe5a1e67cb66ff2478630f5bd5c738.png)
é um número racional.
Obs.: A expressão vale 4.* Comecei, associando à expressão o valor x (Para que eu pudesse elevar ao cubo, fatorar, fazer todas as transformações, e depois voltar ao "ponto de partida", já que estou trabalhando com uma expressão, e não uma equação)
Então, elevei ao cubo:
![x^3 = \sqrt[3]{(20+14\sqrt2)^3} + 3\sqrt[3]{8(20+14\sqrt2)} + 3\sqrt[3]{8(20-14\sqrt2)} + \sqrt[3]{(20-14\sqrt2)^3} x^3 = \sqrt[3]{(20+14\sqrt2)^3} + 3\sqrt[3]{8(20+14\sqrt2)} + 3\sqrt[3]{8(20-14\sqrt2)} + \sqrt[3]{(20-14\sqrt2)^3}](/latexrender/pictures/48297ee7bb590a67eaccc951c18de470.png)
![x^3 = 40 + 6(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}) x^3 = 40 + 6(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}})](/latexrender/pictures/85258aa14845329163c0576d2097c3a3.png)
Bom, a partir daí, não consegui chegar a lugar algum. Alguém pode ajudar?
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PeterHiggs
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por Russman » Qui Mai 31, 2012 10:57
PeterHiggs escreveu:Prove que
![\sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2} \sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2}](/latexrender/pictures/2cfe5a1e67cb66ff2478630f5bd5c738.png)
é um número racional.
Obs.: A expressão vale 4.* Comecei, associando à expressão o valor x (Para que eu pudesse elevar ao cubo, fatorar, fazer todas as transformações, e depois voltar ao "ponto de partida", já que estou trabalhando com uma expressão, e não uma equação)
Então, elevei ao cubo:
![x^3 = \sqrt[3]{(20+14\sqrt2)^3} + 3\sqrt[3]{8(20+14\sqrt2)} + 3\sqrt[3]{8(20-14\sqrt2)} + \sqrt[3]{(20-14\sqrt2)^3} x^3 = \sqrt[3]{(20+14\sqrt2)^3} + 3\sqrt[3]{8(20+14\sqrt2)} + 3\sqrt[3]{8(20-14\sqrt2)} + \sqrt[3]{(20-14\sqrt2)^3}](/latexrender/pictures/48297ee7bb590a67eaccc951c18de470.png)
![x^3 = 40 + 6(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}) x^3 = 40 + 6(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}})](/latexrender/pictures/85258aa14845329163c0576d2097c3a3.png)
Bom, a partir daí, não consegui chegar a lugar algum. Alguém pode ajudar?
Faça,
![a = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} , b= \sqrt[3]{20-14\sqrt2} a = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} , b= \sqrt[3]{20-14\sqrt2}](/latexrender/pictures/4cc0f9ff08098f177801bcd86d34e6cd.png)
.
Como,

entao

.
Chamando

você tem uma equação cúbica do tipo

donde se vê que

é solução!
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por PeterHiggs » Qui Mai 31, 2012 21:45
Obrigado pela resposta !
Simplesmente genial ! Valeu !!!!

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Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de

Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

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