Mostrar a veracidade de uma proposição/inequação

por **Danilo** » Sáb Mar 17, 2012 23:53

Pessoal, estou postando esses exercício aqui porque tenho que entregá-los segunda feira, e estous tentando ao máximo resolver sozinho, mas alguns que está difícil chegar a um resultado em tempo hábil. Fiquei o dia todo estudando sobre os números reais e as ''regras'' que devemos seguir nas desigualdades no livro calculo a uma variavel . Enfim, vamos ao exercício. Preciso mostrar que 2 proposições são verdadeiras.

São elas:

(a) Se 1,3 ? x ? 1,4 e 2,8 ? y ? 2,9 , então - 1,6 ? x - y ? - 1,4.

(b) Se 2,9 ? x ? 3 e 1,7 ? y ? 1,8 , então 2,9/1,8 ? x/y ? 3/1,7

Sei que para provar que uma proposição é falta basta exibir um contra exemplo, ou que a hipótese e a tese devem ser igualmente satisfeitas. Mas não sei como aplicar nessas inequações. Se alguem puder dar um caminho, agradeço. Enquanto isso vou tentando aqui... obrigado aeww

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 01:15

Danilo escreveu:(a) Se 1,3 ? x ? 1,4 e 2,8 ? y ? 2,9 , então - 1,6 ? x - y ? - 1,4.

Se $2,8 \leq y \leq 2,9$ , então $-2,8 \geq -y \geq -2,9$ . Ou ainda, podemos escrever que $-2,9 \leq -y \leq -2,8$ .

Somando membro a membro essa última inequação com a inequação $1,3 \leq x \leq 1,4$ , temos que:

$1,3 + (-2,9) \leq x + (- y) \leq 1,4 + (-2,8)$

$-1,6 \leq x - y \leq - 1,4$

Danilo escreveu:(b) Se 2,9 ? x ? 3 e 1,7 ? y ? 1,8 , então 2,9/1,8 ? x/y ? 3/1,7

Como y é positivo (e não nulo), podemos dizer que:

$\dfrac{2,9}{y} \leq \dfrac{x}{y} \leq \dfrac{3}{y}$

Além disso, também podemos dizer que:

$\dfrac{1}{1,8} \leq \dfrac{1}{y} \leq \dfrac{1}{1,7}$

Multiplicando essa inequação por 2,9 e por 3, obtemos que:

$\dfrac{2,9}{1,8} \leq \dfrac{2,9}{y} \leq \dfrac{2,9}{1,7}$

$\dfrac{3}{1,8} \leq \dfrac{3}{y} \leq \dfrac{3}{1,7}$

Sendo assim, temos que:

$\dfrac{2,9}{1,8} \leq \dfrac{2,9}{y} \leq \dfrac{x}{y} \leq \dfrac{3}{y}\leq \dfrac{3}{1,7}$

Temos então que:

$\dfrac{2,9}{1,8} \leq \dfrac{x}{y} \leq \dfrac{3}{1,7}$