[Fatoração] Simplificação

por **Arkanus Darondra** » Qua Dez 28, 2011 19:45

Alguém poderia me ajudar na resolução desta questão?

A expressão $\frac {x^3y - 3x^2 y^2 + 2xy^3} {x^4 y - 8xy^4}$ , se for simplicada, vamos obter:

O gabarito é: $\frac {x - y} {x^2 + 2xy + 4y^2}$

Obs: Tentei colocar xy em evidência tanto no numerador quanto no denominador e simplificar
$\frac {x^2 - 3xy + 2y^2} {x^3 - 8y^3}$
E apliquei a diferença de cubos no denominador
$\frac {x^2 - 3xy + 2y^2} {(x - 2y)( x^2 + 2xy + 4y^2)}$

por **fraol** » Qua Dez 28, 2011 21:35

Olá Arkanus,

Sua fatoração está correta, para completá-la, basta colocar (x-y) em evidência no numerador que se chega ao resultado. Quer tentar?
Obs: Colocar (x-y) significa dividir o polinômio do numerador por (x-y).

Valeu,
Francisco.

por **Arkanus Darondra** » Qua Dez 28, 2011 22:14

fraol escreveu:Olá Arkanus,

Sua fatoração está correta, para completá-la, basta colocar (x-y) em evidência no numerador que se chega ao resultado. Quer tentar?
Obs: Colocar (x-y) significa dividir o polinômio do numerador por (x-y).

Valeu,
Francisco.

Fraol,
Deu certo aqui. Valeu

por **Arkanus Darondra** » Sáb Jan 07, 2012 19:13

Já faz um tempo que esta dúvida foi respondida, e, inclusive, além da divisão proposta resolvi da seguinte maneira:
$\frac {x^2 - 3xy + 2y^2} {(x - 2y)( x^2 + 2xy + 4y^2)} \Rightarrow \frac {x^2 - xy - 2xy + 2y^2} {(x - 2y)( x^2 + 2xy + 4y^2)} \Rightarrow \frac {x (x - y) - 2y (x - y)} {(x - 2y)( x^2 + 2xy + 4y^2)} \Rightarrow \frac {(x - 2y) (x - y)} {(x - 2y)( x^2 + 2xy + 4y^2)} \Rightarrow \frac {x - y} { x^2 + 2xy + 4y^2}$

Gostaria de saber como é possível saber por qual polinômio eu devo dividir para chegar a fatoração, como, por exemplo, neste caso que foi por (x - y).
e se há casos que só será possível fatorar pelo método da divisão de polinômio.

por **DanielFerreira** » Sáb Jan 07, 2012 19:27

Arkanus,

pode ser fatorada como uma eq. do 2º!
Assim como vc a fez.

por **Arkanus Darondra** » Sáb Jan 07, 2012 19:42

danjr5, minha dúvida, na verdade, são estas duas:
- Como é possível saber por qual polinômio dividir para se fatorar? Como, no caso (x - y), que o fraol disse acima.
- Existe algum caso em que só é possível fatorar por meio da divisão de polinômios e não como deste último ("quebrando o polinômio")?

Agradeço a quem me responder.

por **DanielFerreira** » Sáb Jan 07, 2012 20:14

- Como é possível saber por qual polinômio dividir para se fatorar? Como, no caso (x - y), que o fraol disse acima.

Trata-se de um trinômio que pode ser fatorado como uma equação do 2º.
Ex: x^2 - 5x + 6 =

$S = - \frac{b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5$

$P = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$

Isto é,
devemos encontrar dois números (solução) cuja soma seja 5 e o produto 6.
São eles: 2 e 3. trocando os sinais
daí, x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Voltando a questão:
$S = - \frac{b}{a} = - \frac{- 3}{1} = 3$

$P = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$

São eles: 1 e 2. trocando os sinais
daí, x^2 - 3xy + 2y^2 = x^2 + (- xy - 2xy) + 2y^2

(x^2 - xy) + (- 2xy + 2y^2) = x(x - y) - 2y(x - y) = (x - 2y)(x - y)

agrupamento

por **DanielFerreira** » Sáb Jan 07, 2012 20:15

- Existe algum caso em que só é possível fatorar por meio da divisão de polinômios e não como deste último ("quebrando o polinômio")?

Nesse caso, deixaria de ser fatoração!

por **Arkanus Darondra** » Sáb Jan 07, 2012 21:25

Obrigado.
Para x^2 - 3xy + 2y^2

Achei

e $P = {2y}^2$ , logo as raízes são

e

Então, apliquei a(x - x_1)(x - x_2)

chegando à (x - 2y)(x - y)

por **DanielFerreira** » Sáb Jan 07, 2012 22:04

Arkanus Darondra escreveu:Obrigado.
Para
Achei e $P = {2y}^2$ , logo as raízes são e
Então, apliquei chegando à

Arkanus,
já que sabia como fatorar, poderia detalhar mais sua dúvida?

Arkanus escreveu:- Como é possível saber por qual polinômio dividir para se fatorar? Como, no caso (x - y), que o fraol disse acima.

Não ficou clara!

por **Arkanus Darondra** » Sáb Jan 07, 2012 22:18

Quanto à minha última resposta, apenas pude fazer os cálculos observando a sua explicação.

Quanto à outra pergunta que fiz:

Como é possível saber por qual polinômio dividir para se fatorar? Como, no caso (x - y), que o fraol disse acima.

Eu quis saber como o fraol sabia que dividindo o polinômio x^2 - 3xy + 2y^2

por