Teoria dos Anéis - Dúvida

por **m0x0** » Seg Jul 25, 2011 21:48

Boas a todos,

Estou a estudar Teoria dos Anéis e cheguei a uma dúvida:

Seja A o conjunto dos números reais da forma: $a+b\sqrt[2]{2}$ , com a e b inteiros e com as duas operações habituais (adição e produto):

a) Mostrar que A é um subanel do corpo dos complexos.

Com $(a+b\sqrt[2]{2})\in\Re$ e $({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})\in\Re$ temos:

$(a+b\sqrt[2]{2})+({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a+{a}_{1})+\sqrt[2]{2}(b+{b}_{1}))\in\Re$

$(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a{a}_{1}+2b{b}_{1})+\sqrt[2]{2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in\Re$

Logo A é subanel do corpo dos complexos.

b) Será A um ideal do mesmo corpo?

Com $(a+b\sqrt[2]{2})\in\Re$ e $({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})\in$ Complexos temos:

$(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})=((a{a}_{1}-2b{b}_{1})+\sqrt[2]{-2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in$ Complexos

Logo A não é ideal dos Complexos.

c) Averiguar se A é um domínio de integridade, se é corpo e qual o ideal do anel A gerado por $\sqrt[2]{2}$

Para ser Domínio de Integridade, não pode ter divisores de zero, então: $(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0\Rightarrow(a+b\sqrt[2]{2})=0\cup({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0$

E para ser Corpo, para todo o elemento não nulo, tem que ter invertível, então: $(a+b\sqrt[2]{2}){(a+b\sqrt[2]{2})^{-1}=1$

O ideal gerado será: $(a+b\sqrt[2]{2})\sqrt[2]{2}=2b+a\sqrt[2]{2}$ , ou seja, serão os números da forma $2a+b\sqrt[2]{2}$ ou <2A> ?!

(E não passo daqui.. agradecia ajuda se possível nas demonstrações se é Domínio de Integridade, se é Corpo e como se descobre o ideal) :(

Teoria dos Anéis - Dúvida

Teoria dos Anéis - Dúvida

Teoria dos Anéis - Dúvida

Quem está online