Inequação - 2º grau com delta menor que zero

por **renanrdaros** » Sex Mar 25, 2011 18:27

$\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x}$

Resolvendo a expressão e analisando os dois casos possíveis, chego em uma inequação de 2º grau com \Delta<0

Como resolvo a partir daí? O resultado do livro não é vazio!

por **LuizAquino** » Sex Mar 25, 2011 18:31

Envie a sua resolução para que possamos identificar onde está o problema.

por **renanrdaros** » Sex Mar 25, 2011 18:56

$\frac{x+1}{2-x} - \frac{x}{3+x} < \frac{x}{3+x} - \frac{x}{3+x}$

$\frac{(3+x)(x+1)-(2-x)x}{(2-x)(3+x)}<0$

Multiplicando ambos os lados pelo denominador, simplificando e considerando os dois casos (denominador<0 e denominador>0), chego nas seguintes inequações:

$2{x}^{2} +2x+ 3<0$
e
$2{x}^{2} +2x+ 3>0$

Elas não têm raízes reais. E a partir daí não sei resolver.

por **MarceloFantini** » Sex Mar 25, 2011 20:22

Vamos analisar assim: $\frac{2x^2 +2x +3}{(2-x)(3+x)} < 0$ . Como o numerador é sempre positivo, basta descobrir quando

é negativo.

$3+x < 0 \Longleftrightarrow x < -3$

$2-x < 0 \Longleftrightarrow x>2$

Assim, $S = ( - \infty, -3) \cup ( 2, + \infty)$ .

Em questões assim, não elimine o denominador. Trabalhe com a fração.

por **renanrdaros** » Sáb Mar 26, 2011 01:52

Obrigado por mais essa!

por **LuizAquino** » Sáb Mar 26, 2011 10:31

renanrdaros escreveu:Multiplicando ambos os lados pelo denominador, simplificando e considerando os dois casos (denominador<0 e denominador>0), chego nas seguintes inequações:
$2{x}^{2} +2x+ 3<0$
e
$2{x}^{2} +2x+ 3>0$

É comum os alunos cometerem o equívoco de multiplicar as inequações usando expressões e não se preocupar com o sinal das mesmas. Leia no tópico a seguir um comentário a respeito disso:
inequação, dúvida.
viewtopic.php?f=106&t=3856

por **johnlaw** » Dom Mar 27, 2011 13:08

Então, desenvolvendo o $\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x}$ eu chego em $\frac{2x+3}{(2-x)(3+x)} <0$ . O denominador fica igual, mas não posso dizer que ele será maior que zero e então encontrar somente o denominador.

Desenvolvi assim:

$\frac{x+1}{2-x} - \frac{x}{3+x} < \frac{x}{3+x} - \frac{x}{3+x}$

$\frac{(3+x)(x+1)-(2-x)x}{(2-x)(3+x)}<0$

$\frac{3x + 3 + x^2 +x - 2x -x^2 }{(2-x)(3+x)}<0$

$\frac{x + 3+ x}{(2-x)(3+x)}<0$
$\frac{2x + 3}{(2-x)(3+x)}<0$

Para dar a equaçã de 2º grau acima, aquele primeiro +x (na 3ª linha desenvolvida) deveria ser -x, mas o que fiz está errado ?

Valeu! Abraços a todos!

por **LuizAquino** » Dom Mar 27, 2011 13:29

johnlaw escreveu: $\frac{(3+x)(x+1)-(2-x)x}{(2-x)(3+x)}<0$

$\frac{3x + 3 + x^2 +x - 2x -x^2 }{(2-x)(3+x)}<0$

Nessa passagem está o erro. O correto seria:
$\frac{3x + 3 + x^2 +x - 2x + x^2 }{(2-x)(3+x)}<0$

Ou seja, o seu problema foi no desenvolvimento do termo -(2-x)x, que deve ser igual -2x+x^2

e não

como você fez.

por **johnlaw** » Dom Mar 27, 2011 16:33

Ah sim!! OK Luiz, muito obrigado!

Abraços!

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