Demonstrações! Álgebra elementar

por **Abelardo** » Ter Mar 08, 2011 00:42

Não consigo demonstrar essas três questões!Alguma dica, por favor!

83) Mostre que existem

e

racionais tais que $\sqrt[]{18 - 8 \sqrt[]{2}}=a + b\sqrt[]{2}$
84)Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com y o real $a=\frac{x+y}{2}$ e chama-se média geométrica o real $g=\sqrt[]{xy}$ . Mostre que $a\geq g$ para todos $x, y \epsilon \ {R}_{+}$
87) Prove que, dado um número racional $\frac{a}{b}$ e um número natural $n \geq 2$ , nem sempre $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ é racional.

Qualquer dica é bem vinda!

por **Pedro123** » Ter Mar 08, 2011 01:51

Olha abelardo, pra 84 ja vi uma demonstração, não sei se é valida, mas é interessante.... haha

faça o seguinte produto notavel, $(\sqrt[2]{x} - \sqrt[2]{y})^{2}$ , perceba que como está ao quadrado,e , pelo enunciado, X e Y são numeros positivos, é claro que isso resultará em um numero positivo, ou igual a zero, logo:

$(\sqrt[2]{x} - \sqrt[2]{y})^{2} \geq 0$

Desenvolvendo,

$x - 2\sqrt[2]{x.y} + y \geq 0$

$x + y \geq 2\sqrt[2]{x.y}$

Logo, para todo x e y reais, positivos, teremos que

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt[2]{x.y}$

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 09:57

Pedro123 escreveu: $(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})^{2} \geq 0$

Desenvolvendo,

$x - 2\sqrt[]{xy} + y \geq 0$

$x + y \geq 2\sqrt[]{xy}$

Logo, para todo x e y reais, teremos que

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt[]{xy}$

No segundo passo, você só pode fazer $\sqrt{x}^2=x$ e $\sqrt{y}^2=y$ pois x e y são reais positivos, como diz no texto do exercício.

Além disso, no final ao invés de dizer que "(...) para todo x e y reais, teremos que (...)" você deveria ter dito "(...) para todo x e y reais positivos, teremos que (...)"

Abelardo escreveu:83) Mostre que existe a e b racionais tais que $\sqrt[]{18 - 8 \sqrt[]{2}}=a + b\sqrt[]{2}$

Dica
Note que: $18 - 8 \sqrt[]{2} = \left(4 - \sqrt{2}\right)^2$ .

Abelardo escreveu:87) Prove que, dado um número racional $\frac{a}{b}$ e um número natural $n \geq 2$ , nem sempre $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

O texto do execício está incompleto. Por favor revise-o.

por **Abelardo** » Ter Mar 08, 2011 12:19

Na questão 83 cheguei a o valor $a +\sqrt[]{2}.(b+1)=4$ . Mas tenho um livro que diz: ''Para construção de irracionais é usar o fato de que, se $\theta$ é irracional e

é racional não nulo, então: $\theta+r, \theta.r, \frac{\theta}{r} e \frac{r}{\theta}$ são todos irracionais..

A questão 87 fiz assim: Admitamos que

e

são números racionais e n=2. Posso formar uma fração onde a=2b.

. Logo $\frac{a}{b}=2$ . Então $\sqrt[2]{\frac{a}{b}}=\sqrt[2]{2}$ , onde raiz quadrada de dois é um irracional(Desculpe-me Professor Aquino, a questão estava incompleta mesmo)

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 12:29

Abelardo escreveu:Na questão 83 cheguei a o valor $a +\sqrt[]{2}.(b+1)=4$ . Mas tenho um livro que diz: ''Para construção de irracionais é usar o fato de que, se $\theta$ é irracional e é racional não nulo, então: $\theta+r, \theta.r, \frac{\theta}{r} e \frac{r}{\theta}$ são todos irracionais.

Note que: $\sqrt{18 - 8 \sqrt{2}} = \sqrt{\left(4 - \sqrt{2}\right)^2} = 4 - \sqrt{2}$ . Lembrando que essa última simplificação só pode ser feita dese jeito pois $4 - \sqrt{2} > 0$ . Sendo assim, no exercício temos que a=4 e b=-1, que são ambos números racionais.

Abelardo escreveu:A questão 87 fiz assim: Admitamos que e são números racionais e n=2. Posso formar uma fração onde . Logo $\frac{a}{b}=2$ . Então $\sqrt[2]{\frac{a}{b}}=\sqrt[2]{2}$ , onde raiz quadrada de dois é um irracional(Desculpe-me Professor Aquino, a questão estava incompleta mesmo)

Por favor, poste o texto completo da questão.

por **Abelardo** » Ter Mar 08, 2011 14:35

''87) Prove que, dado um número racional $\frac{a}{b}$ e um número natural $n\geq2$ , nem sempre $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ é racional.''

Professor Aquino, essa questão é do livro ''Fundamentos da Matemática Elementar Vol.1'' página 53, copie-a igualmente ao livro. Estou tentando responder algumas questões que exijam demonstrações algébricas, acho que com elas posso entender melhor algumas relações.
O que falta nessa questão? (Fiquei tão animado achando que tinha conseguido resolver kkkk)