Álgebra: Teoria dos conjuntos2

[Caeros]

Seja W = {1,2,3,4}. Considere as seguintes relações em W:
R1 = {(1,1), (1,2)}, R4 = {(1,1), (2,2), (3,3)},
R2 = {(1,1), (2,3), (4,1)}, R5 = W x W
R3 = {(1,3), (2,4)}
Diga se cada uma das relações é ou não: (1) simétrica, (2) anti-simétrica, (3) transitiva, (4) reflexiva.
(1) Em R1, (1,2) ? R1, mas (2,1) a R1, não é simétrica;
Em R2, (2,3) ? R2, mas (3,2) a R2, não é simétrica, mesmo para (4,1);
Em R3, (1,3) ? R3, mas (3,1) a R3, não é simétrica, mesmo para (2,4);
Em R4, (1,1) ? R4, não necessariamente elementos distintos, é simétrica a relação;
Em R5, há todas as possibilidades de relações possíveis e também simétrica.
(2) Segundo o autor da questão apenas R5 não é anti-simétrica, mas se o conjunto é simétrico isso não é pré-requisito para ser anti-simétrico?Porque não?
(3) O autor da questão afirma ser todas transitivas, por quê? Exemplo em R2, se (1,1) ? R2 e (4,1) ? R2 mas (1,4) a R2. E porque R3 seria transitiva?
(4) Somente R5 é reflexiva, pois a definição deixa claro que cada elemento de W deve ser considerado.

[LuizAquino]

Diga se cada uma das relações é ou não: (1) simétrica, (2) anti-simétrica, (3) transitiva, (4) reflexiva.

Veja essas definições em:
Relação binária
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7 ... n%C3%A1ria

R5 não é anti-simétrica, pois, por exemplo, temos que:


Entretanto, .
Além disso, note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Isto é, uma relação pode ser ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica. A relação R4 é um exemplo disso.

R2 é transitiva, pois para quaisquer e , temos que . Por exemplo, , e obviamente .