números irracionais

por **jose henrique** » Sáb Fev 12, 2011 20:35

estou com uma questão que pede para provar que os números abaixos são irracionais.

$\sqrt[2]{2}+\sqrt[2]{3}$

fiz de forma

$\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}= \sqrt[]{3+2}= \sqrt[]{5}$

$\sqrt[]{5}=\frac{a}{b} \Rightarrow {\left(\sqrt[]{5} \right)}^{2}= {\left(\frac{a}{b} \right)}^{2} \Rightarrow 5 = \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}\Rightarrow5{b}^{2}={a}^{2}$

bem então se b é um número natural múltiplo de 5 então a deverá ser míltiplo de 5.

até aí o meu racíocinio está correto.
obrigado pela ajuda

por **Dan** » Sáb Fev 12, 2011 21:07

jose henrique, em primeiro lugar $\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}$ não é $\sqrt[]{2+3}$ , muito menos $\sqrt[]{5}$ . Você não pode sair somando raízes quadradas dessa forma, pois é como somar duas variáveis diferentes (x + y).

A ideia desse tipo de demonstração que você começou é da prova por absurdo. Você começa dizendo que uma raíz quadrada é igual a uma fração (o que já é um absurdo, já que essas raízes quadradas são irracionais) para no final constatar que se você seguir com esse processo algébrico obterá (daí sim) "o" absurdo (uma fração que pode ser simplificada para sempre, por exemplo).

Entendeu?

por **jose henrique** » Sáb Fev 12, 2011 21:18

então eu terei que fazer este procedimento para cada raiz em questão, para depois que comprovadas que são números irracionais eu concluir que somando dois números irracionais o resultado será outro irracional.

por **jose henrique** » Sáb Fev 12, 2011 21:27

por exemplo nesta questão que pede Se i é um número irracional e n é um número inteiro então i + n é um número irracional.

$i + n= \frac{m}{n} \Rightarrow n(n+i)=m \Rightarrow {n}^{2} + ni = m\Rightarrow i = \frac{m -{n}^{2}}{n}$

sendo que n $\neq$ 0

o que provaria, pois como i é irracional não poderia ser igualado a um racional e desta forma i + n seria racional
está correto?

por **Dan** » Sáb Fev 12, 2011 21:31

Aí que mora o perigo. Não é correto afirmar que a soma de dois números irracionais é sempre irracional. No caso inicial será irracional, mas por exemplo, $2 + \sqrt[]{2}$ e $2 - \sqrt[]{2}$ são dois números irracionais que quando somados dão 4. Então não dá pra generalizar.

Eu estou aqui pensando, e não consegui chegar a nenhuma estratégia. Provar que as raízes separadamente são irracionais é fácil, mas que argumento você vai usar no final para dizer que são irracionais?

por **Dan** » Sáb Fev 12, 2011 21:39

Tudo bem, um inteiro somado com um irracional é irracional. Parece que você não concluiu essa outra demonstração, mas a afirmação está correta. Porém, isso ainda não resolve o problema da soma de dois irracionais.

números irracionais

números irracionais

números irracionais

Re: números irracionais

Re: números irracionais

Re: números irracionais

Re: números irracionais

Re: números irracionais

Quem está online