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Ajuda com Álgebra Abstrata !

Mensagempor Renato_RJ » Seg Jan 17, 2011 10:41

Bom dia amigos !!!

Sei que aqui é a área de Álgebra elementar, mas não sei exatamente onde postar as minhas dúvidas em Álgebra abstrata, então resolvi criar o tópico aqui mesmo, qualquer problema por favor mudem o tópico de lugar.

Alguém poderia verificar se a demonstração que fiz está correta ?

Sejam a \, \textrm{e} \, b \in \mathbb{Z} \, \textrm{e} \, d o Maior Divisor Comum deles.
Já que \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b é um ideal de (\mathbb{Z},+, \cdot), então, pelo visto acima, existe n \geq 0 tal que \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n.
Mostre que d = n e portanto que existem e, f \in \mathbb{Z} tais que e \cdot a + f \cdot b = d.


Desenvolvimento:

Sendo \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} = \mathbb{Z}a, temos:

\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n \quad n = mdc(a,b)

\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}

Agora tomemos um elemento \bar{z} tal que \bar{z} \in \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b, então:

\bar{z} = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}

Então temos:

\bar{x} = x + a \cdot q_{1} \mid q_{1} \in \mathbb{Z}
\bar{y} = y + b \cdot q_{2} \mid q_{2} \in \mathbb{Z}

Logo:

\bar{x} + \bar{y} = x + y + (a \cdot q_{1} + b \cdot q_{2})

\bar{x} + \bar{y} = x + y + mdc(a,b) \cdot [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}]

Onde mdc(a,b) = n e mdc(a,b) \cdot c_{1} = a$ e $mdc(a,b) \cdot c_{2} = b e chamaremos de q_{3} o termo [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}].

Então teremos:

\bar{x} + \bar{y} = x + y + n \cdot q_{3} \Rightarrow \bar{x} + \bar{y} \in \mathbb{Z}n

\bar{z} \in \mathbb{Z}n \Rightarrow \bar{z} = z + n \cdot q_{3}

n = mdc(a,b) \Rightarrow \exists \, e\, , f \mid e \cdot a + f \cdot b = n \Rightarrow n = d
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Renato_RJ
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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