Transformação linear! URGENTEE

por **manuoliveira** » Qua Nov 07, 2012 15:26

Dado T: R³ -> R³ ; T(x1, x2, x3) = (3.x1 + x2, - 2.x1 - 4.x2 + 3.x3, 5.x1 + 4.x2 - 2.x3), A e B bases canônicas, encontrar T^(-1)(v)

Gente, tenho prova amanhã e estou toda enrolada com essa parte, não estou conseguindo achar a inversa de nenhuma questão, agradeço muito quem puder me ajudar com essa! Obrigadinha :-D

por **young_jedi** » Qua Nov 07, 2012 21:23

tome que a transformação (x1,x2,x3) leva a (a,b,c)

T(x_1,x_2,x_3)=(a,b,c)

portanto

$\begin{cases}3x_1+x_2=a\\-2x_1-4x_2+3x_3=b\\5x_1+4x_2-2x_3=c\end{cases}$

isolando x2 na primeira equação temos que x_2=a-3x_1

substituindo na segunda e terceira equações

$\begin{cases}-2x_1-4(a-3x_1)+3x_3=b\\5x_1+4(a-3x_1)-2x_3=c\end{cases}$

isolando x3 na primeria das equações acima

$x_3=\frac{b+4a-10x_1}{3}$

substituindo na segunda equação

$-7x_1+4a-\frac{2b}{3}-\frac{8a}{3}+\frac{20x_1}{3}=c$

isolando x1

x_1=4a-2b-3c

substituindo este valor de x1 na equação de x3

$x_3=\frac{b+4a-10(4a-2b-3c)}{3}$

x_3=-12a+7b+10c

substituindo o valor de x1 na equação de x2

x_2=a-3(4a-2b-3c)

portanto

$\begin{cases}x_1=4a-2b-3c\\x_2=-11a+6b+9c\\x_3=-12a+7b+10c\end{cases}$

sendo assim

$T^{-1}(a,b,c)=(4a-2b-3c, -11a+6b+9c, -12a+7b+10c)=(x_1,x_2,x_3)$