Dúvida com problema sobre taxa de variação

por **arnoanderson** » Sáb Nov 28, 2009 12:14

Estou com dificuldade no seguinte problema

Um quadrado de lado L está se expandindo segundo a equação:
l=2+t^2

onde

Preciso encontrar a taxa de variação.(Que é a derivada, não?)
Sei que o resultado é 48, porém derivando a função e multiplicando pelos lados do quadrado não chego nesse valor. Somente chego ao valor 48 quando aplico diretamente a função, sem aplicar a derivada. Queria saber porquê.

Obrigado

(Obs, coloquei no tópico errado)

por **Elcioschin** » Sáb Nov 28, 2009 18:14

Acho que deve ser taxa de variação da área do quadrado, embora vc não tenha dito isto no enunciado:

L = 2 + t²

S = L² ----> S = (2 + t²)² ----> S = t^4 + 4*t² + 4

S' = 4*t³ + 8*t ----> S' = 4*(2³) + 4*(2²) ----> S' = 32 + 16 ----> S' = 48

por **arnoanderson** » Seg Nov 30, 2009 19:29

Oi Elcioschin.
É exatamente isso que você disse, taxa de variação da área do quadrado.
Tinha feito isso. O que me deixou na dúvida é que não derivei a função 2+t^2

, mas sim apliquei diretamente. Acredito que a dúvida nesse caso é mais "conceitual" mesmo. Quando é solicitada taxa de variação não é necessário derivar a função? Ex.Y= 2+t^2

-->

(Que daria outro resultado, errôneo nesse caso)

Isso que não entendi.

Obrigado!

por **Elcioschin** » Seg Nov 30, 2009 21:06

arnoanderson

Primeiro vamos relembrar algo básico: A área S de um quadrado de lado L é dada por S = L².

O lado do quadrado do seu problema é uma função dada por L(t) = 2 + t²
Esta função mostra como varia o lado do quadrado com o tempo: note que o lado aumenta com o tempo.

Se você derivar a função acima você estará calculando a "taxa de variação do LADO do quadrado".
O que o problema pede é a "taxa de variação da ÁREA do quadrado"
Assim, você está derivando a função ERRADA.

À medida em que o lado do quadrado vai aumentando, a área dele também vai aumentando.

A área S(t) do quadrado será uma NOVA função, dada por:

S(t) = [L(t)]² -----> S(t) = (2 + t²)² ----> S(t) = t^4 + 4*t² + 4

Para saber qual é a "taxa de variação da ÁREA do quadrado" deve-se derivar esta NOVA função S(t):

S '(t) = 4*t³ + 8*t

Para t = 2 a "taxa de variação da ÁREA" valerá ----> S '(2) = 4*2³ + 8*2 -----> S '(2) = 48

Deu para entender agora?