Ajuda!

por **barbara-rabello** » Seg Ago 05, 2013 19:11

Prove que para quaisquer conjuntos A e B temos A $\subset$ B se, e somente se, para qualquer conjunto C vale $(A \cup C) \cap (B \cup C) = A \cup C.$

Estou com dificuldade nesta questão, posso tentar fazer por Indução? Ou talvez por Absurdo?
Valeu!

por **e8group** » Seg Ago 05, 2013 22:45

Ainda não estudei teoria dos conjuntos como gostaria ,portanto talvez o que postarei apresentará erros .

Suponha $C\neq \varnothing$ .Vamos mostar que se $A \subset B$ ,então : $(B\cup C)\cap(A\cup C) = A\cup C$ .

Dado ,

em $(B\cup C)\cap(A\cup C)$ ,segue-se que

$x\in B\cup C$ e $x\in A\cup C$ sse

$(x \in B$ ou $x\in C )$ e $(x \in A$ ou $x\in C )$ .

Desde que $A \subset B$ ,temos que $x \in A$ e $x\in B$ sse $x\in A\cap B$ sse $x\in A$ . Daí resulta ,

$(x \in B$ ou $x\in C )$ e $(x \in A$ ou $x\in C )$ sse

$x\in A$ ou $x\in C$ o que mostra

$(B\cup C)\cap(A\cup C) = A\cup C$ .

Reciprocamente, seja $(B\cup C)\cap(A\cup C) = A\cup C$ . Dado , $x \in (B\cup C)\cap(A\cup C)$ .Temos :

$(x \in B$ ou $x\in C )$ e $(x \in A$ ou $x\in C )$ .

Por outro lado :

$x \in A\cup C$ sse $x \in A$ ou $x\in C$ .

Logo , obtemos $A \cap B = A$ e portanto $A\subset B$ .

O caso $C = \varnothing$ é obvio .

por **barbara-rabello** » Sex Ago 09, 2013 15:14

Obrigada pela ajuda! Vou tentar refazer a questão seguindo a sua lógica.

Uma dúvida, quando você continuou a explicação a partir do reciprocamente, essa parte é para o O caso $C = \varnothing$ ?
Pois achei meio estranha, se for.

Valeu!

por **barbara-rabello** » Sex Ago 09, 2013 15:25

Desculpa a pergunta, mas o que significa sse ?

por **e8group** » Sex Ago 09, 2013 22:00

barbara-rabello escreveu:Obrigada pela ajuda! Vou tentar refazer a questão seguindo a sua lógica.

Uma dúvida, quando você continuou a explicação a partir do reciprocamente, essa parte é para o O caso $C = \varnothing$ ?
Pois achei meio estranha, se for.

Valeu!

Não há de quê .A resolução a partir do reciprocamente não é para o caso $C = \varnothing$ . Mas claramente quando $C= \varnothing$ o resultado que foi provado (caso não contenha erros )acima também vale para este caso. Pois , $A\subset B \iff A \cap B = (A\cup \varnothing) \cap (B\cup \varnothing) = A\cup \varnothing = A$ .

barbara-rabello escreveu:Desculpa a pergunta, mas o que significa sse ?

" Se e somente se " ou " se e só se " (abreviadamente , sse )

por **barbara-rabello** » Sex Ago 09, 2013 22:13

Muito obrigada mesmo pela ajuda!

Consegui entender sua lógica. Bem que eu achei que estava estranho se fosse para o segundo caso.

Mas uma vez, obrigada!

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