Divisão polinômios

por **vivi** » Dom Set 09, 2012 20:03

. Seja D um domínio e f(x)?D(x). Prove: Se f(x) é divisível por x-a e também por x-b sendo a,b ?D e a?b,então f(x) é divisível por (x-a)(x-b)

Oi eu pensei na divisão da seguinte forma D=d.q+r, como sei que o resto deve ser nulo pois x-a e x-b são divisores de f(x)...comecei dessa forma alguém poderia me ajudar a concluir o racícionío...

f(x)=(x-a).q
f(x)=xq-aq
E
f(x)=(x-b).q
f(x)=xq-bq
Logo xq-aq=xq-bq
-aq=-bq
-aq+bq=0
q(a+b)=0
q=0 ou a+b=0

Muito obrigado

por **DanielFerreira** » Dom Set 09, 2012 21:31

Olá Vivi,
boa noite!

- A divisão do polinômio f(x)

por

dá resto 0, então f(a) = 0

- A divisão do polinômio f(x)

por

dá resto 0, então f(b) = 0

Consideremos q(x)

o quociente e r = cx + d

o resto da divisão do polinômio f(x)

por

, segue que

$\boxed{f(x) = q(x) \cdot (x - a)(x - b) + r}$

$f(x) = q(x) \cdot (x - a)(x - b) + cx + d$

Quando f(a)

:

$f(a) = q(a) \cdot (a - a)(a - b) + c \cdot a + d$

0 = ac + d

Quando

:

$f(b) = q(b)(b - a)(b - b) + c \cdot b + d$

0 = bc + d

Resolvendo o sistema:

$\begin{cases} ac + d = 0 \\ bc + d = 0 \end{cases}$

Encontramos, a = b

, mas de acordo com o enunciado, $a \neq b$ , com isso, podemos concluir que $\boxed{c = 0}$ . Substituindo esse valor em uma das outras equações, teremos $\boxed{d = 0}$ .

Logo,
r = cx + d