Equação exponencial

por **skin** » Dom Jul 15, 2012 21:24

Olá pessoal,

Estou com dificuldades para resolver essa equação exponencial:

$0,8(1-{e}^{-t/0,6})=0,65(1-{e}^{-t/0,95})$

Claramente, t=0 é solução da equação, mas a segunda solução não estou conseguindo obter...
Manipular algebricamente essas exponenciais não é simples. Ou estou mesmo muito enferrujado...
Se alguém puder dar alguma dica de caminho a seguir, agradeceria...

por **e8group** » Dom Jul 15, 2012 22:13

Tente resolver assim ,

$\begin{cases} 1 -e^{-\frac{t}{0,6}} = 1 - \frac{1}{e^{\frac{t}{0,6}}}= 0 \\ 1 - e^{-\frac{t}{0,95}} = 1 - \frac{1}{e^{\frac{t}{0,95}}}=0 \end{cases}$

Qualquer dúvida posta aqui ..

por **skin** » Dom Jul 15, 2012 22:47

santhiago escreveu:Tente resolver assim ,

$\begin{cases} 1 -e^{-\frac{t}{0,6}} = 1 - \frac{1}{e^{\frac{t}{0,6}}}= 0 \\ 1 - e^{-\frac{t}{0,95}} = 1 - \frac{1}{e^{\frac{t}{0,95}}}=0 \end{cases}$

Qualquer dúvida posta aqui ..

Santhiago, obrigado!
mas a solução da sua proposta é a trivial, t=0.
A equação tem outra solução... q não estou conseguindo obter.

por **skin** » Dom Jul 15, 2012 23:09

Se alguém conhecer alguma técnica para resolver equações exponenciais gerais do tipo:
${e}^{at}+k{e}^{bt}=1-k$ , com a, b e k constantes (E a/b $\neq$ 2 ou 1/2 - Obrigado Russman!), resolveria meu problema.

Será preciso expandir em série de Taylor?

por **Russman** » Dom Jul 15, 2012 23:48

Se a/b=2 ou b/a=2 você pode ver a equação como uma equação quadrática!

Mas, no caso, eu aconselho uma solução computacional! De qualquer forma a Expansão em Série acabaria indo pelo mesmo caminho.

por **skin** » Seg Jul 16, 2012 00:32

Obrigado, Russman!
Tem razão sobre a equação quadrática, mas, como você disse, não é o caso.

Ainda estou interessado numa solução analítica, não computacional.
Será possível?

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 00:46

Eu não vejo alguma solução analítica possível. Se deve ao fato da não-linearidade da operação logaritmica.

por **e8group** » Seg Jul 16, 2012 16:26

skin escreveu:Claramente, t=0 é solução da equação, mas a segunda solução não estou conseguindo obter...
Manipular algebricamente essas exponenciais não é simples. Ou estou mesmo muito enferrujado...
Se alguém puder dar alguma dica de caminho a seguir, agradeceria...

skin escreveu:Santhiago, obrigado!
mas a solução da sua proposta é a trivial, t=0.
A equação tem outra solução... q não estou conseguindo obter.

Skin ,me desculpe , mas só vejo uma solução analítica que é t = 0 , quanto a seu desenvolvimento temos :

$0,8(1-e^{-t(0,6)^{-1}})= 0,65(1-e^{-t(0,95)^{-1}})\iff \begin{cases} 1-e^{-t(0,6)^{-1}}=0 ---(i)\\1-e^{-t(0,95)^{-1}}=0---(ii)\end{cases}$

Em (i) segue que ,

$1 = e^{-t(0,6)^{-1}} \Longrightarrow ee^{-1} = e^{-t(0,6)^{-1}} \Longrightarrow ln(e^{0}) = ln(e^{-t(0,6)^{-1}}) \Longrightarrow 0( ln(e)) = -t(0,6)^{-1} \Longrightarrow 0 = -t(0,6)^{-1}\Longrightarrow (-0,6)(0)= -t(0,6)^{-1}(-0,6)$ ,

ou seja t = 0

De modo análogo obterá t= 0 em (ii) ,sendo assim t =0 será a solução que satisfaz a expressão original proposta por você .

Obs.: Deixei bem claro cada passo que fiz em (i) cujo objetivo é sanar sua dúvida (caso se tiver ) em relação manipulações algébricas .

por **skin** » Seg Jul 16, 2012 16:42

santhiago escreveu:Obs.: Deixei bem claro cada passo que fiz em (i) cujo objetivo é sanar sua dúvida (caso se tiver ) em relação manipulações algébricas .

Obrigado Santhiago, mas não tinha dúvidas quanto a essa solução.
De fato,
$1-{e}^{kt}=0 \Leftrightarrow t=0, \forall k\in\Re$

santhiago escreveu: $0,8(1-e^{-t(0,6)^{-1}})= 0,65(1-e^{-t(0,95)^{-1}})\iff \begin{cases} 1-e^{-t(0,6)^{-1}}=0 ---(i)\\1-e^{-t(0,95)^{-1}}=0---(ii)\end{cases}$

Agora, cuidado com esse $\iff$ que vc escreveu, pois não é verdadeiro! (uma vez que a equação tem duas soluções!)

RETIFICANDO (em 16/07 às 19h04):
Parece que a equação tem mesmo uma única solução t=0

. Mas poderia não ter, dependendo dos parâmetros envolvidos.

por **e8group** » Seg Jul 16, 2012 17:06

É se realmente tem duas soluções realmente o uso " se e somente se " fica inadequado .

Quanto o desenvolvimento (não sei se vai ajudar ) veja , expandi um pouco a expressão e cheguei em ,

$15 - 80(e)^{(-100 t)\frac{1}{60}} + 65(e)^{(-100 t)\frac{1}{95}} = 0$ . Agora se fizer $e^{-100t} = y$ ,achando y logo obterá t ,oque acha ?

Espero que esteja tudo certo .

por **e8group** » Seg Jul 16, 2012 17:09

Mesmo fazendo $e^{-100 t} = y$ talvez será difícil analiticamente .

por **skin** » Seg Jul 16, 2012 17:14

santhiago escreveu:
$15 - 80(e)^{(-100 t)\frac{1}{60}} + 65(e)^{(-100 t)\frac{1}{95}} = 0$ . Agora se fizer $e^{-100t} = y$ ,achando y logo obterá t ,oque acha ?

Espero que esteja tudo certo .

Você tem toda razão, Santhiago! E está certo sim!
O problema é que encontrar esse y não é simples... ao menos não estou enxergando uma saída!

por **e8group** » Seg Jul 16, 2012 17:20

skin escreveu:Você tem toda razão, Santhiago! E está certo sim!
O problema é que encontrar esse y não é simples... ao menos não estou enxergando uma saída!

Única solução que vejo para y é y = 1 ,sendo assim temos t = 0 . Qual a segunda solução aí ,você tem o gabarito ?

por **skin** » Seg Jul 16, 2012 18:05

santhiago escreveu:Única solução que vejo para y é y = 1 ,sendo assim temos t = 0 . Qual a segunda solução aí ,você tem o gabarito ?

Santhiago, no gabarito que possuía, constavam como solução t=0

e

. No entando, fazendo um gráfico, olhando seus pontos de inflexão e seu comportamento no infinito, pude concluir que a única solução real da equação é t=0

, como você sugeriu.
Veja:

e no infinito,

$\lim_{t\rightarrow\infty}[0,8(1-{e}^{-t/0,6})-0,65(1-{e}^{-t/0,95})] =$

$= 0,8\lim_{t\rightarrow\infty}(1-{e}^{-t/0,6})-0,65\lim_{t\rightarrow\infty}(1-{e}^{-t/0,95}) =0,8-0,65=0,15$

Donde concluímos que o gráfico tem um único ponto (real) de inflexão e uma assintota horizontal y=0,15