Aritmética dos Inteiros

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 09, 2012 15:40

Numa turma, há n alunos, com $147 \leq n \leq 167$ . Dividindo esse alunos em grupos de 4, sobram dois deles e, dividindo-os em grupos de 6, também sobram dois alunos. Calcule o valor de n.

A resposta é 158. Entretanto, não consegui pensar em um caminho para resolvê-la.
Agradeço a quem ajudar.

por **DanielFerreira** » Seg Jan 09, 2012 21:03

Arkanus Darondra escreveu:Numa turma, há n alunos, com $147 \leq n \leq 167$ . Dividindo esse alunos em grupos de 4, sobram dois deles e, dividindo-os em grupos de 6, também sobram dois alunos. Calcule o valor de n.

A resposta é 158. Entretanto, não consegui pensar em um caminho para resolvê-la.
Agradeço a quem ajudar.

Seja a o quociente da divisão n por 4:
n = 4a + 2

Seja b o quociente da divisão n por 6:
n = 6b + 2

Igualando-as...
4a + 2 = 6b + 2
2a = 3b
$\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$

Dividindo o 1º possível valor de n (147) por 4:
teremos quociente: 36,75
Isto é, o valor de a deverá ser maior que 36. Mas, sabemos que deverá ser um múltiplo de três, então: {39, 42, 45,...}
Vejamos o 39:
a = 39

Enfim, multicando a razão por 13:
$\frac{a}{b} = \frac{3}{2} = \frac{39}{26}$

n = 4a + 2
n = 4 * 39 + 2
n = 158

Se verificássemos a = 42, deveríamos multiplicar a razão por 14 ( $\frac{42}{3}$ )...
$\frac{a}{b} = \frac{3}{2} = \frac{42}{28}$

n = 4a + 2
n = 4 * 42 + 2
n = 170

Que não satisfaz a condição:
$147 \leq n \leq 167$

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 09, 2012 21:20

Valeu!

por **fraol** » Seg Jan 09, 2012 21:22

Oi Arkanus,

Uma outra forma de encarar esse tipo de problema é usar congruência.

Pelo enunciado sabemos que n deixa resto 2 tanto na divisão por 4 como na divisão por 6, isto é:

$n \equiv 2 (mod4)$ e

$n \equiv 2 (mod6)$ .

Entre 147 e 167, os inteiros congruentes a